[Teresarica]

Buenas noches:
Estoy tratando de hallar la derivada de la función \( f(x)= \sqrt[3 ]{x^2} \) utilizando la definición  \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{f(x +h) - f(x)}{h} \)
Pero la raíz cúbica me despista:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\sqrt[3 ]{(x + h)^2} - \sqrt[3 ]{x^2}}{h} \)

¿Cómo puedo proseguir? ¿Alguien me puede proporcionar una pista?

Gracias

[mathtruco]

Hola Teresarica. En límites, cuando aparece una resta de dos raíces cúbicas suele funcionar lo siguiente.

Recuerda la propiedad

    \( a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \).


Define

    \( a=\sqrt[3]{(x+h)^2} \)    y    \( b=\sqrt[3]{x^2} \).


Con eso en mente,

    \( \sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}=a-b=\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} \)


de donde

    \( \dfrac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h\Big(\sqrt[3]{(x+h)^4}+\sqrt[3]{(x+h)^2x^2}+\sqrt[3]{x^4}\Big)} \)

etc.

[Teresarica]

Aclarado mathtruco. Muchas gracias.