Hola
Hola tengo dificultades con esta demostración. La verdad no se ni como empezar
Probar que \( \{ B(a,r) | a \in{M}, r>0 \} \) es una base de una topologia. Donde \( B(a,r) = \{ x | d(a,x)<r \} \)
DE antemano gracias
Entiendo que \( M \) es un espacio métrico. Una familia de conjuntos es base de una topología si:
1- La unión de los conjuntos de la familia es todo el espacio.
2- Dado un punto \( x \) en la intersección de dos conjuntos de la familia \( x\in B_1\cap B_2 \) existe un tercero \( B_3 \) tal que \( x\in B_3\subset B_1\cap B_2 \).
Para 1 ten en cuenta que dado \( x\in M \), \( x\in B(x,1) \).
Para 2 si \( B_i=B(x_i,r_i) \) y \( x\in B_1\cap B_2 \) toma \( r=min(r_1-d(x,a_1),r_2-d(x,a_2)) \) y comprueba que \( B(x,r)\subset B_1\cap B_2 \).
Para entender bien este último haz un dibujo: dos círculos de distinto radio cortándose, un punto interior \( x \) a ambos y elige un radio \( r \) de forma que el círculo de centro \( x \) y radio \( r \) esté dentro de los dos círculos iniciales.
Saludos.
