Respecto a métodos de integración no te puedo ayudar.
Respecto a que hay funciones que no tienen antiderivadas, ésto es falso, otra cosa es que no la podamos expresar en manera algebraica.
Pero supongo que es a eso a lo que se refería
uliperez al hablar de
antiderivadas elementales. Normalmente se consideran funciones elementales las obtenidas a partir de funciones potenciales, exponenciales, trigonométricas y las inversas de todas ellas, combinadas de forma finita mediante suma, diferencia, producto, división o composición.
En cuanto a la razón, no se muy bien que decirte. La integración con frecuencia produce funciones de nuevo tipo, mientras que la derivación simplifica las funciones, o no las complica, reduciéndolas a menudo a tipos más familiares. De hecho, las llamadas funciones especiales se definen frecuentemente como primitivas de funciones elementales. Por lo general, funciones con la variable dentro y fuera de funciones trascendentes (exponenciales, trigonométricas y sus inversas), o con radicales de polinomios de grado superior al segundo, producen primitivas no elementales, si no se puede aplicar la regla de la cadena.
En cuanto a la clasificación que haces, no parece muy excluyente .. Las sustituciones trigonométricas, ¿no entrarían dentro de las sustituciones directas o inversas?
Por sustitución directa o inversa supongo que hay que entender que se reemplaza la incógnita por una función de otra variable (directa), o una subexpresión por una variable (inversa).
Ejemplo:
Directa: \( \displaystyle\int\sqrt[ ]{2x+1}\,dx,\quad t = 2x+1 \)
Inversa: \( \displaystyle\int\sqrt[ ]{1-x^2}\,dx, \quad x = \sen t \)
Para funciones trigonométricas también está la transformación de productos en sumas, y el uso de otras fórmulas trigonométricas. Las sustituciones hiperbólicas son similares a las trigonométricas, pero en ocasiones más eficaces. Y yéndonos a métodos más sofisticados, tendríamos la integración paramétrica o las tecnicas de variable compleja, especialmente para integrales definidas.
Saludos,
