[victorescobar]

Sea \( A=\begin{bmatrix}{1}&{4}&{4}\\{4}&{1}&{4}\\{4}&{4}&{1}\end{bmatrix} \) y la forma cuadrática \( x^T(A+aI)x \) La forma cuadrática sería indefinida cuando los valores de su diagonal fuera de distinto signo pero como sé para qué valores de \( a \) tiene distinto signo.

[pierrot]

Yo empezaría calculando el determinante polinomio característico de \( A+aI \).

[Fernando Revilla]

Otra forma: si en el polinomio característico \( \det (A+aI-\lambda I) \) restas a la segunda y tercera fila la primera y despues a la primera columna le sumas las demás, obtienes inmediatamente los valores propios, y en consecuencia una matriz diagonal de la forma cuadrática. Te dará \( D=\text{diag }(a+9,a-3,a-3). \) Basta ahora obligar a que \( (a+9)(a-3) < 0 \).

[victorescobar]

Otra forma: si en el polinomio característico \( \det (A+aI-\lambda I) \) restas a la segunda y tercera fila la primera y despues a la primera columna le sumas las demás, obtienes inmediatamente los valores propios, y en consecuencia una matriz diagonal de la forma cuadrática. Te dará \( D=\text{diag }(a+9,a-3,a-3). \) Basta ahora obligar a que \( (a+9)(a-3) < 0 \).

Por qué \( (a+9)(a-3) < 0 \) es menor que cero.

[Fernando Revilla]

Por qué \( (a+9)(a-3) < 0 \) es menor que cero.

No es menor que \( 0 \), ha de ser \( <0 \) para que la forma cuadrática sea indefinida. Mira el primer teorema del resumen teórico de Clasificación de formas cuadráticas.

[victorescobar]

Se podría hacer aplicando el criterio de sylvester?

[Fernando Revilla]

Se podría hacer aplicando el criterio de Sylvester?

Tal criterio es sólo aplicable a las definidas positivas y a las definidas negativas.