[AlejandroCB]

Hola.
De nuevo tengo una duda de un amigo mío que sigue sin poder crearse la cuenta.
Es la siguiente:

Sea F(x) un polinomio con coeficientes enteros. Se sabe que F(\( a_i \))= 5 para cuatro enteros diferentes \(  a_1 , a_2 , a_3 , a_4 \). Demostrar que F(b) no puede valer 8 para ningún entero b.

Gracias de antemano y disculpad las molestias.

[Carlos Ivorra]

Llama \( G=F-5 \), que es también un polinomio con coeficientes enteros que toma el valor 0 en cuatro enteros diferentes \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) y hay que probar que no existe ningún entero \( b \) donde tome el valor 3.

Ahora bien, \( G(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_3)H(x) \),

donde \( H(x) \) es también un polinomio con coeficientes enteros, luego sería

\( 3=(b-a_1)(b-a_2)(b-a_3)(b-a_4)H(b) \),

donde todos los factores son enteros, y los cuatro primeros son distintos dos a dos, pero \( 3 \) no puede descomponerse en cinco factores enteros con cuatro de ellos distintos. En cuatro con tres distintos sí: \( 3=(-3)\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1 \), pero en cinco no.

[AlejandroCB]

A mi amigo le ha resultado muy útil. Desconozco qué nick estará utilizando ahora mismo, pero el emplazaré a comentar en el hilo.

Gracias por la ayuda.

[ErgoSphere]

Buenas tardes y gracias por aclararme la duda que tenía, soy el amigo el cual no podía acceder a la creacción de la cuenta. Gracias por activarla y también por molestarse en comentarla, la verdad es que me ha gustado mucho el foro, poco más tengo que decir, solamente dar las gracias de nuevo y quizás nos veamos en otra ocasión. Un saludo.