[Retseilop]

Hola.          \(  ...  \)

Necesito ayuda con este ejercicio, me dicen:

Sea \(  V  \) un espacio vectorial con producto interno, con \(  Dim(V) = 3  \) y \(  S  \) un subespacio de V
con  \(  Dim(S) = 1  \) Se considera el operador lineal T tal que \(  T(v) = 2v_1 + 4v_2   \)
siendo  \( v_1 ∈ S  \) y  \( v_2 ∈ S_\perp     \)
Ademas con \(  v = v_1 + v_2 \)

Tengo que poder indicar si es diagonalizable, autoadjunta, biyectiva y hallar su determinante.

Lo que intenté para demostrar que es autoadjunta fue plantear un vector  \(  W = w_1 + w_2 \)
con las mismas condiciones que V
 
Luego plantear  \( <T(v), w>=<v,T(w)>  \)

\( < (2v_1 +4v_2), (w_1 + w_2)> = < (v_1 + v_2) , (2w_1 + 4w_2) \)

seguir desarrollando y llegar a una igualdad. teniendo en cuenta que \( < v_i, w_j >=0   \) si \(  i \ne j   \)

No sé si esto esta bien, pero si lo esta ya demostraria que es autoadjunta y diagonalizable... pero no sabría hallar lo demás que me piden

 




Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.          \(  ...  \)

Necesito ayuda con este ejercicio, me dicen:

Sea \(  V  \) un espacio vectorial con producto interno, con \(  Dim(V) = 3  \) y \(  S  \) un subespacio de V
con  \(  Dim(S) = 1  \) Se considera el operador lineal T tal que \(  T(v) = 2v_1 + 4v_2   \)
siendo  \( v_1 ∈ S  \) y  \( v_2 ∈ S_\perp     \)
Ademas con \(  v = v_1 + v_2 \)

Fíjate que cualquier vector \( v\in V \) puede descomponerse de manera única como \( v=v_1+v_2 \) con \( v_1=\in S \) y \( v_2\in S^\perp \). Por tanto te están diciendo exactamente como hallar la imagen de cualquier vector; dada esa descomposición:

\( T(v)=2v_1+4v_2 \)

En particular si tomas una base ortonormal \( B=\{u_1,u_2,u_3\} \) con \( u_1\in S \), \( u_2,u_3\in S^\bot \), se tiene que_

\( T(u_1)=2u_1,\quad T(u_2)=4u_2,\quad T(u_3)=4u_3 \)

y de hecho la matriz asociada en esa base es la forma diagonal \( Diag(2,4,4) \).

Con esto debería de serte inmediato responder a todas las preguntas.

Saludos.

[Retseilop]

Entendido, muchas gracias.