[cristianoceli]

Hola tengo problemas con esta demostración


Sea \( d,d^{\prime} \) and \( d^{\prime\prime} \) métricas definidas. Para cualquier \( x,y \in{\mathbb{R^n}} \) se cumple que:

\( d(x,y)\leq{d^{\prime}(x,y)}\leq{nd^{\prime\prime}(x,y)} \) , donde \( d(x,y)= [ \displaystyle\sum_{i=1}^N (x_i-y_i)^2]^{1/2} \) ,

\( d^{\prime}(x,y)= \displaystyle\sum_{i=1}^N |x_i-y_i| \) y \( d^{\prime\prime} (x,y) = max_{1\leq{i}\leq{n}}  |x_i-y_i| \)

Tengo dificultades en probar dichas desigualdades.


De antemano gracias.

Saludos

[Masacroso]

La desigualdad no me parece difícil en absoluto, mejor dime qué has intentado y dónde has errado. Te recomendaría demostrarla por partes, primero demostrar que \( d'(x,y)\le n\cdot d''(x,y) \) y luego que \( d(x,y)\le d'(x,y) \).

En serio, echa un vistazo porque no son realmente complicadas, quizá te confunda la notación, eso es todo. Piensa en la desigualdad cuando \( n=2 \), es decir

\( \displaystyle \sqrt{|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2}\le|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\le2\cdot\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\} \)

No sé cómo ayudarte sin resolverlas por ti.

[cristianoceli]

La desigualdad no me parece difícil en absoluto, mejor dime qué has intentado y dónde has errado. Te recomendaría demostrarla por partes, primero demostrar que \( d'(x,y)\le n\cdot d''(x,y) \) y luego que \( d(x,y)\le d'(x,y) \).

En serio, echa un vistazo porque no son realmente complicadas, quizá te confunda la notación, eso es todo. Piensa en la desigualdad cuando \( n=2 \), es decir

\( \displaystyle \sqrt{|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2}\le|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\le2\cdot\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\} \)

No sé cómo ayudarte sin resolverlas por ti.

Hola, tengo claro que debo resolverlas por partes. Lo que sucede es que no se de donde partir (que puedo suponer que sea verdad) pues no puedo suponer que es verdad y de ahí desarrollar

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Por ejemplo para la primera:

\(  \displaystyle  d(x,y) \leq d'(x,y)  \) sólo hay que elevar al cuadrado para ver que se cumple.

Utilizando:

Si \(  a,b \in \mathbb{R}^+  \) entonces \(  a < b  \Longleftrightarrow  a^2 < b^2  \)

Como dice Masacroso deberías poner lo que intentaste para ver donde están los errores.

Además esta pista es muy buena:

\( \displaystyle \sqrt{|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2}\le|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\le2\cdot\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\} \)

[cristianoceli]

Por ejemplo para la primera:

\(  \displaystyle  d(x,y) \leq d'(x,y)  \) sólo hay que elevar al cuadrado para ver que se cumple.

Utilizando:

Si \(  a,b \in \mathbb{R}^+  \) entonces \(  a < b  \Longleftrightarrow  a^2 < b^2  \)

Como dice Masacroso deberías poner lo que intentaste para ver donde están los errores.

Además esta pista es muy buena:

\( \displaystyle \sqrt{|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2}\le|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\le2\cdot\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\} \)

Lo voy a intentar.

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Si no te sale pregunta.

[cristianoceli]

Si no te sale pregunta.

Si tienes razón la primera desigualdad es bastante fácil ya me di cuenta porque no me salia. Pero ahora tengo dudas con esta:

\( |x_1-y_1|+|x_2-y_2|\le2\cdot\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\} \) No entiendo muy bien a que se refiere con el máximo


Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

\( max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}  \) toma el número más grande de \( |x_1-y_1|  \) y \(  |x_2-y_2|  \)

Si tienes \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} |x_i-y_i|  \) y todos los sumandos los sustituyo por el más grande de ellos queda:

\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} |x_i-y_i| \leq \cdots  \)