[victorescobar]

Sea H una matriz simétrica real de la forma H \( \begin{bmatrix}{2}&{*}&{*}\\{*}&{-1}&{*}\\{*}&{*}&{-1}\end{bmatrix} \) con determinante nulo. Entonces una forma canónica de la forma cuadrática \( φ=X^THX  \) es:
a) \( 2y_1^2-y_2^2-y_3^2 \)
b)\( y_1^2-y_2^2-y_3^2 \)
c)\( y_1^2-y_2^2 \)

Hola como puedo sacar la reducción canónica si no puedo sacar los autovalores para poder hacerla.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea H una matriz simétrica real de la forma H \( \begin{bmatrix}{2}&{*}&{*}\\{*}&{-1}&{*}\\{*}&{*}&{-1}\end{bmatrix} \) con determinante nulo. Entonces una forma canónica de la forma cuadrática \( φ=X^THX  \) es:
a) \( 2y_1^2-y_2^2-y_3^2 \)
b)\( y_1^2-y_2^2-y_3^2 \)
c)\( y_1^2-y_2^2 \)

Hola como puedo sacar la reducción canónica si no puedo sacar los autovalores para poder hacerla.

Dado que el determinante es cero, la (a) y la (b) están descartadas, ya que tendrías una forma cuadrática de rango \( 3 \).

Además tu forma cuadrática presenta en la diagonal valores positivos o negativos luego es indefinida. Así que al menos tiene rango dos.

Por tanto si estamos en dimensión 3, tiene rango dos, y es indefinida, tiene signatura \( (1,1) \) y en alguna base puede escribiese en la forma descrita en (c).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Además tu forma cuadrática presenta en la diagonal valores positivos o negativos luego es indefinida.

Adelantándome (tal vez) a una posible pregunta de victorescobar,

          \( \left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\end{array}\right)\begin{pmatrix}{2}&{*}&{*}\\{*}&{-1}&{*}\\{*}&{*}&{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\ 0\end{pmatrix}=2>0,\quad \left(\begin{array}{ccc}{0}&{1}&{0}\end{array}\right)\begin{pmatrix}{2}&{*}&{*}\\{*}&{-1}&{*}\\{*}&{*}&{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\ 0\end{pmatrix}=-1 < 0 \)

[victorescobar]

muchas gracias a los dos me habeis aclarado la mente. Saludos