[Frankie]

Buenos días. Mañana tengo exámen de cálculo y la verdad es que voy un poco apurado. Necesitaría ayuda para resolver este ejercicio que dice así;

Calcular la imagen de la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow{} \mathbb{R} \) definida por;
\( f(x) =  2arctan(x) - 2x + log(x^2+1)  \), para \( x \in{\mathbb{R}} \) (cabe decir que es un logaritmo neperiano)

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \( f(x) = 0 \)?

Hice una deducción en principio pero no sé si es correcta. Como \( arctan(x), 2x \) y \( log(x^2+1) \) son continuas en todo \( \mathbb{R} \), deduje así que la imagen de dicha función es por tanto todo \( \mathbb{R} \). No sé si es correcto de esa forma.

[Ignacio Larrosa]

Buenos días. Mañana tengo exámen de cálculo y la verdad es que voy un poco apurado. Necesitaría ayuda para resolver este ejercicio que dice así;

Calcular la imagen de la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow{} \mathbb{R} \) definida por;
\( f(x) =  2arctan(x) - 2x + log(x^2+1)  \), para \( x \in{\mathbb{R}} \) (cabe decir que es un logaritmo neperiano)

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \( f(x) = 0 \)?

Hice una deducción en principio pero no sé si es correcta. Como \( arctan(x), 2x \) y \( log(x^2+1) \) son continuas en todo \( \mathbb{R} \), deduje así que la imagen de dicha función es por tanto todo \( \mathbb{R} \). No sé si es correcto de esa forma.

Así lo que has deducido expresamente es que el dominio es todo \( \mathbb{R} \), pero te preguntan por la imagen. Ahora bien, como la función es continua y

\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}= +\infty \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}= -\infty \)

ya que el término dominante en ambos casos es \( -2x \), pues \( \arctg x \) está acotado y \( \ln(1 + x^2) \) crece mucho más lentamente que \( x \), resulta que la imagen o recorrido es también \( \mathbb{R} \).

En cuanto al número de raíces, se ve de inmediato que \( x = 0 \) es una de ellas, pues los tres sumandos son nulos. Estudiando el signo de la derivada,

\( f'(x) = \displaystyle\frac{2x(1-x)}{x^2+1} \)

vemos que decrece en \( (-\infty, 0) \), crece en \( (0, 1) \) y vuelve a decrecer en \( (1, \infty) \). Como es \( f(0) = 0\textrm{ y }\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}= -\infty \), se deduce que hay únicamente otra raíz en (1, \infty).

Saludos,

[Frankie]

¡Hola Ignacio! Gracias por tu pronta respuesta, me ayudaste bastante.

En el caso de que me propongan calcular la imagen de una función, y esta no sea continua en todo \( \mathbb{R} \), ¿qué tendría que hacer? ¿Analizar los límites tal y como has hecho tú?

Y bueno, supongo que en este caso como todas son continuas en todo \( \mathbb{R} \), es por eso que hemos analizado en \( \pm{\infty} \), pero en el caso de que haya una función dentro de esa función, que por ejemplo solo esté definida entre \( [0,+\infty] \), habría que analizar los límites sólo entre \( [0,+\infty] \), ¿correcto?

Gracias, y un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

¡Hola Ignacio! Gracias por tu pronta respuesta, me ayudaste bastante.

En el caso de que me propongan calcular la imagen de una función, y esta no sea continua en todo \( \mathbb{R} \), ¿qué tendría que hacer? ¿Analizar los límites tal y como has hecho tú?

Si no es continua; será discontinua en unos pocos puntos y continua por tanto en varios tramos. Calcula la imagen de cada uno de esos tramos donde la función si es continua y une los resultados obtenidos.

En cada tramo de continuidad la función alcanza todos los valores entres su máximo y su mínimo (si existen) o su supremo y su ínfimo. Esos valores máximos y mínimos pueden aparecer o bien en los extremos del tramo (de ahí los límites que calcula Ignacio) o en el interior del mismo (en ese caso suelen usarse técnicas de cálculo diferencial para hallarlos).

Y bueno, supongo que en este caso como todas son continuas en todo \( \mathbb{R} \), es por eso que hemos analizado en \( \pm{\infty} \), pero en el caso de que haya una función dentro de esa función, que por ejemplo solo esté definida entre \( [0,+\infty] \), habría que analizar los límites sólo entre \( [0,+\infty] \), ¿correcto?

Si; esto está relacionado justo con el párrafo que escribí antes.

Saludos.

[Frankie]

¡Hola Luis!

Perfecto, ahora sí. ¡Muchas gracias a los dos!