Hola
, tengo el siguiente problema.
Sea \( A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & a & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \) con
a perteneciente a los reales.
Me dan varias opciones y hay que elegir la correcta.
1) Si \( a \ne 0 \) y \( a \ne 5 \), \( A \) es diagonalizable
y los subespacios propios son dos a dos
ortogonales.
2) Si \( a \ne 0 \) y \( a \ne 5 \), \( A \) es diagonalizable e invertible.
3) Para todo
a perteneciente a los reales, los subespacios propios de \( A \) tienen dimención uno.
4) Si \( a \ne 0 \) \( A \) es diagonalizable.
5) \( A \) es siempre diagonalizable.
Mi idea fue usar el teorema de Gerschgorin. Pero no tengo del todo claro como funciona. (En mis clases no se dijo mucho)
Si planteo los tres círculos quedarían:
\( C_1 (1,6) \)
\( C_2 (a,0) \)
\( C_3 (4,2) \)
Osea que me queda el circulo \( C_2 \) dentro del circulo \( C_1 \) y el tercer circulo seria solo un punta \( a \)
El problema ahora es aplicar el teorema, no tengo claro dentro de que círculos estarían los valores propios.
Por lo que entendí debe haber uno en cada intersección, por lo tanto, ¿en \( C_2 \) existiría un valor propio doble, ya que esta contenido en \( C_1 \)? ¿que pasa si
a se escoge tal forma que queda dentro de \( C_2 \), seria
a valor propio triple?
¿ En que me ayuda esto a saber si es diagonalizable o no ? (salvo que sean 3 círculos disjuntos)
Quizás no es el método para resolver este problema y es simplemente haciendo cuentas, pero me surgieron estas dudas de como aplicar el teorema.
Saludos!
