[Francolino]

Hola.

El problema que escribo a continuación lo he encarado de diversas maneras y nunca llego al resultado correcto, ¿cómo debería ser el planteo inicial?

El problema.

Un péndulo constituido por una masa \( m \) y un hilo inextensible y sin masa de largo \( L \) oscila en un plano vertical alrededor de \( O \) fijo. Cuando la masa pasa por el punto más bajo de su oscilación, se sabe que tiene una velocidad de módulo \( v_0 \). En el momento en que el péndulo forma un ángulo \( \alpha = 45º \) con su posición de equilibrio, como se muestra en la figura, el hilo se rompe. La distancia horizontal \( D \), con respecto a la posición de equilibrio del péndulo, que tendrá la masa al alcanzar su máxima altura luego de romperse el hilo es:

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Hola.

El problema que escribo a continuación lo he encarado de diversas maneras y nunca llego al resultado correcto, ¿cómo debería ser el planteo inicial?

El problema.

Un péndulo constituido por una masa \( m \) y un hilo inextensible y sin masa de largo \( L \) oscila en un plano vertical alrededor de \( O \) fijo. Cuando la masa pasa por el punto más bajo de su oscilación, se sabe que tiene una velocidad de módulo \( v_0 \). En el momento en que el péndulo forma un ángulo \( \alpha = 45º \) con su posición de equilibrio, como se muestra en la figura, el hilo se rompe. La distancia horizontal \( D \), con respecto a la posición de equilibrio del péndulo, que tendrá la masa al alcanzar su máxima altura luego de romperse el hilo es:

Cuando se rompe el hilo, la masa \( m \) empieza a desplazarse en la dirección que llevaba, perpendicular al hilo, formando por tanto un ángulo de \( 45^\circ{} \) con la horizontal. La velocidad en ese instante la puedes calcular por conservación de la energía. A partir de ese momento, se trata de un problema de tiro oblicuo, en el que conoces el ángulo y la velocidad inicial, así como la posición del punto de partida, en el que se rompe el hilo.

Solo tienes que hallar a que distancia se alcanza el máximo de la trayectoria parabólica y añadirlo a la separación horizontal de \( m \) respecto del punto de equilibrio.

Saludos,

[Francolino]

Hola Ignacio y muchas gracias por contestar, como siempre. 

Finalmente y gracias a ti, he podido dar con la solución. Como me suele suceder, me estaba complicando de más y a su vez, no estaba viendo detalles importantes. A continuación expongo a grosso modo las ecuaciones por si algún lector está curioso:

Se conserva la energía, por tanto se puede afirmar que:
\( \frac{m v_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgL(1-\cos\theta) \)

Despejo \( v \) que es la velocidad perpendicular a la trayectoria del péndulo en el momento en que se rompe el hilo:
\( v = \sqrt{v_0^2-2gL(1-\cos\theta)} \)

El tiempo que demora en llegar a su altura máxima es:
\( t = \frac{\sen\theta}{g}\sqrt{v_0^2-2gL(1-\cos\theta)} \)

Con este tiempo y la velocidad horizontal hallo el desplazamiento horizontal:
\( \displaystyle x' = \frac{\sen\theta\cos\theta(v_0^2-2gL(1-\cos\theta))}{g} \)

Y ahora falta sumar el trocito de la distancia desde que se rompe el hilo a su punto de equilibro, que es: \( L\sen\theta \).

Finalmente, juntando todo y reemplazando por el ángulo conocido:

\( \displaystyle \boxed{D = \frac{v_0^2}{2g} + L(\sqrt{2}-1)} \)


Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Todo correcto.

Saludos,

[Francolino]

Hola Ignacio.

Te agradezco por tus respuestas y por todavía haber revisado las cuentas.   

Saludos.