[Retseilop]

Hola. 

se me plantea este problema:

Sea \(  S : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3  \) una transformación lineal autoadjunta con sólo dos valores propios distintos \(  λ_1  \) y \(  λ_2  \)  que verifican \(  0 < λ_1 < λ_2 \)  y \(   dim(S_{λ_1})=1 \)
También se sabe que :

1- \( S(1,0,1) = (1,0,1)  \)

2- \(  Dim(N(S-I)) = 1 \)

3- \( Det(S)= 4  \)

Hallar \( S(1,2,3) \)
 

De los datos que me dan pude hallar el valor propio 1 y gracias al dato 2 saber que tiene multiplicidad algebraica igual a 1.
Con el dato 3 puedo sacar el segundo valor propio usando que \( λ_1 . λ_2 =4 \) entonces \( λ_2 =4 \).

Luego usando que S es autoadjunta:

\(  <S(1,0,1) , (1,2,3)> = <(1,0,1) , S(1,2,3)>  \)

planteando que \( S(1,2,3)= (x,y,z) \) genérico, obtuve la restricción x+z=4

no tengo idea de si esto está bien o de como seguir desde este punto. 

saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. 

se me plantea este problema:

Sea \(  S :  \)   \(  R^3 \rightarrow R^3  \) una transformacion lineal autoadjunta con sólo dos valores propios distintos \(  λ_1  \) y \(  λ_2  \)  que verifican \(  0 < λ_1 < λ_2 \)  y \(   dim(S_{λ_1})=1 \)
Tambien Se sabe que :

1- \( S(1,0,1) = (1,0,1)  \)

2- \(  Dim(N(S-I)) = 1 \)

3- \( Det(S)= 4  \)

Hallar \( S(1,2,3) \)
 

De los datos que me dan pude hallar el valor propio 1 y gracias al dato 2 saber que tiene multiplicidad algebraica igual a 1.
Con el dato 3 puedo sacar el segundo valor propio usando que \( λ_1 . λ_2 =4 \) entonces \( λ_2 =4 \).

Esto último no está bien; ten en cuenta que una aplicación autoadjunta siempre diagonaliza; por tanto la suma de las multiplicidades  algebraicas (o geométricas: son las mismas por diagonalizar) coincide con la dimensión del espacio.

Entonces dado que \( \lambda_1 \) tienen multiplicidad uno (nos lo dicen), \( \lambda_2 \) tiene multiplicidad \( 2 \) y en realidad el determinante es:

\( 4=\lambda_1\cdot \lambda_2^2 \)

Como \( 0<\lambda_1<\lambda_2 \) deducimos que \( \lambda_2=2 \).

Luego usando que S es autoadjunta:

\(  <S(1,0,1) , (1,2,3)> = <(1,0,1) , S(1,2,3)>  \)

planteando que \( S(1,2,3)= (x,y,z) \) genérico, obtuve la restricción x+z=4

Eso está bien. Pero por ser autoadjunta sabes que los autovectores asociados a \( \lambda_2 \) son ortogonales a los asociados a \( \lambda_1 \).

Entonces si descompones \( (1,2,3)=\vec u+\vec v \) donde \( \vec u \) es la proyección ortogonal sobre \( S_{\lambda_1}
 \), tendrás que_

\( S(1,2,3)=S(\vec u)+S(\vec v)=1\cdot u +2\cdot v \)

Termina...

Saludos.

[Retseilop]

Hola, gracias por responder.

Lo logro seguir pero no puedo terminar el problema, me pierdo en un mar de cuentas que no se si llegan a algo o no... 

[Fernando Revilla]

Mas o menos "isomorfo" a lo dicho por Luis, tenemos \( V_{\lambda_2}=\left(V_{\lambda_1}\right)^\perp{} \) por tanto \( V_{\lambda_2}\equiv x+z=0 \) que te proporciona la base de \( V_{\lambda_2} \): \( \left\{{(0,1,0),(-1,0,1)}\right\} \). Una base de \( \mathbb{R}^3 \) es por tanto:

          \( \left\{{(1,0,1),(0,1,0),(-1,0,1)}\right\}. \)

Expresa

          \( (1,2,3)=\alpha_1(1,0,1)+\alpha_2(0,1,0)+\alpha_3(-1,0,1). \)

Entonces,

          \( S(1,2,3)=\alpha_1S(1,0,1)+\alpha_2S(0,1,0)+\alpha_3S(-1,0,1) \)
                        \( =\alpha_1(1,0,1)+\alpha_2(0,2,0)+\alpha_3(-2,0,2). \)

Ahora, tu única misión  , es hallar los \( \alpha_i \) vía un sencillo sistema.

[Retseilop]

Genial! ahora si quedo todo claro, gracias a ambos. 

La respuesta es \(  S(1,2,3)= (0,4,4) \).

[Fernando Revilla]

La respuesta es \(  S(1,2,3)= (0,4,4) \).

Correcto.