2. Queremos formar distintas palabras con todas las letras de IRIS y después colorear cada una de las 4 letras con uno de los colores rojo, azul o verde.¿Cuántas posibilidades tengo para hacer esto?
\( C_{n,k} \)
donde n=4, k=3
Pd. C = combinaciones.
Sería valida la solución especificada?
Gracias.
No entiendo muy bien la parte final de tu mensaje. El problema se descompone en ordenar las cuatro letras, de las que dos son iguales, y luego de forma independiente, pintarlas de tres colores.
Lo primero se cuenta mediante permutaciones con repetición. En este caso de 4 elementos, en los que hay iguales 2, 1 y 1, Son:
\( PR_4^{2,1,1} = \displaystyle\frac{4!}{2!1!1!}= 12 \)
Date cuenta que la suma de las 'repeticiones', contando como 1 los no repetidos, debe ser el total de elementos. Podemos enumerarlas por las dudas, ya que son pocas. En orden alfabétrico:
IIRS, IISR, IRIS, IRSI, ISIR, ISRI, RIIS, RISI, RSII, SIIR, SIRI, SRII
El problema del pintado es de variaciones con repetición de 3 elementos, los colores, tomados de cuatro en cuatro:
\( VR_3^4 = 3^4 = 81 \)
\( AAAA, AAAR, AAAV, \ldots, VVVA, VVVR, VVVV \)
Esto es así porque la primera letra se puede colorear con cualquiera de los tres colores, por cada elección de este, tenemos tres posibilidades para la segunda, y de la misma forma para la tercera y la cuarta: \( 3\cdot{}3\cdot{}3\cdot{}3 = 3^4 \).
En total entonces, \( 12\cdot{}81 = 972 \) posibilidades.
Saludos,
