[lmods]

Hola, antes que nada quisiera desearles un feliz año. Espero que alguien me pueda ayudar con el siguente ejercico.

Sea \( X \) un espacio métrico, si \( \emptyset\neq{Y}\subseteq{X} \) y toda cubierta abierta de \( Y \) tiene una subcubierta contable, entonces \( Y \) es separable.

De antemano gracias.

[Fernando Revilla]

Sea \( X \) un espacio métrico, si \( \emptyset\neq{Y}\subseteq{X} \) y toda cubierta abierta de \( Y \) tiene una subcubierta contable, entonces \( Y \) es separable.

Fija \( n \) entero positivo y considera el recubrimiento abierto de \( Y \) dado por \( \mathcal{R}=\{B(y,1/n):{y \in Y}\}\cap Y \). Por hipótesis existe un subrecubrimiento contable de \( \mathcal{R} \) con bolas, digamos de centros \( y_{(n,1)}, y_{(n,2)},\ldots \). Entonces, \( A=\{y_{(n,m)}:n,m\text{ enteros positivos}\} \) es subconjunto contable de \( Y \). Demuestra que \( \overline{A}=Y \).