[Valentinuh]

Hola! Estoy tratando de resolver una ecuación de recurrencia y estoy teniendo bastantes problemas en la parte de la solución particular,
\( a_{n+1}-a_n=3n^2-n \), \( n\geq{0} \) con \( a_0=3 \).
Gracias!!

[Juan Pablo Sancho]

Una forma:

Sabiendo que :

\( 1^2+2^2+\cdots + n^2 = \dfrac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6}  \)

\(  1+2+\cdots+ n = \dfrac{n\cdot (n+1)}{2}  \)

Viendo algunos términos tenemos:

\(  a_3 = a_2 + 3 \cdot 2^2-2 = (a_1 + 3 \cdot 1^2  - 1)   + 3 \cdot 2^2-2 = a_0  + 3 \cdot (1^2+2^2) - (1+2)  \)

Spoiler

\(  a_n = a_0 + 3 \cdot (1^2+2^2+ \cdots + (n-1)^2) - (1+2+3+\cdots+(n-1)) = \cdots = 3 + n \cdot (n-1)^2  \)

[cerrar]

[Fernando Revilla]

Estoy tratando de resolver una ecuación de recurrencia y estoy teniendo bastantes problemas en la parte de la solución particular, \( a_{n+1}-a_n=3n^2-n \), \( n\geq{0} \) con \( a_0=3 \).

La ecuación característica es \( \lambda-1=0 \) con lo cual \( 1 \) es raíz de orden \( s=1 \). El segundo miembro de la ecuación de recurrencia es un polinomio \( p_k(n) \) de grado \( k=2 \). Por un conocido teorema, una solución particular es de la forma

          \( a_n=n^s\;\widetilde{p}_k(n)=n(an^2+bn+c)=an^3+bn^2+cn. \)

Obligando a que cumpla la ecuación, obtendrás

          \( a_n=n^3\color{red}-2\color{black}n^2\color{red}+\color{black}n. \)

[Valentinuh]

Muchas gracias a los dos!! Me sirvió de mucho!!
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Estoy tratando de resolver una ecuación de recurrencia y estoy teniendo bastantes problemas en la parte de la solución particular, \( a_{n+1}-a_n=3n^2-n \), \( n\geq{0} \) con \( a_0=3 \).

La ecuación característica es \( \lambda-1=0 \) con lo cual \( 1 \) es raíz de orden \( s=1 \). El segundo miembro de la ecuación de recurrencia es un polinomio \( p_k(n) \) de grado \( k=2 \). Por un conocido teorema, una solución particular es de la forma

          \( a_n=n^s\;\widetilde{p}_k(n)=n(an^2+bn+c)=an^3+bn^2+cn. \)

Obligando a que cumpla la ecuación, obtendrás

          \( a_n=n^3-\displaystyle\frac{3}{2}n^2-\displaystyle\frac{1}{2}n. \)

Pero para \(  n= 0  \)  no cumple lo que se pide:

\(  a_0 = 3 \neq 0^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 0^2 - \dfrac{1}{2} \cdot 0  \)

\(  a_1 = 3 \neq 1^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 1^2 - \dfrac{1}{2} \cdot 1  \)

[Fernando Revilla]

Pero para \(  n= 0  \)  no cumple lo que se pide

Es que la solución particular que yo hallé no se refiere a la del valor inicial, sino la previa al cálculo de la general. Esta particular es \( n^3-2n^2+n \) (había un error de cálculo que ya he corregido). Por tanto, la solución general de \( a_{n+1}-a_n=3n^2-n \) es

          \( a_n=n^3-2n^2+n+C\cdot 1^n=n^3-2n^2+n+C, \)

y para \( a_0=3 \), obtenemos \( C=3 \). Queda pues \( a_n=n^3-2n^2+n+3 \) que (como no podía ser de otro modo  ) es la misma que tú hallaste en modo más heurístico.