[AngyMaria]

Hola, tengo una duda con un ejercicio.
Debo determinar la ecuación general de una parábola que cumpla con los datos Vértice(5,2) y Foco(3,2). Sabiendo que p tiene un valor de (-2) y que la parábola es horizontal con abertura hacia la izquierda, paso a desarrollar la ecuación sustituyendo los valores. Para ello tengo dos ecuaciones y es esto en donde recae mi duda ¿cuál de las ecuaciones es la correcta?

opción 1:
\( (k-y)^2=4p(x-h) \) que me da un resultado de \( y^2-4y+8x-36=0 \) que sería la ecuación general de la parábola

opción 2:
\( (x-k)=4p(y-k)^2 \) que me da un resultado de \( {8y}^2-32y+x+27=0 \) que sería la ecuación general de la parábola

Espero que me puedan ayudar gracias!!

[delmar]

Hola AngyMaria

Bienvenida al foro

Si la parábola es horizontal,  en general  hay dos puntos de la parábola con la misma abscisa x, es decir para un x del dominio  de la parábola, hay dos y ; eso solamente se da en la ecuación 1; sin embargo la ecuación que das no es correcta, ten en cuenta que \( (h,k) \) son las coordenadas del vértice.

Disculpa, la ecuación que das es correcta.

Saludos

[AngyMaria]

Muchísimas gracias Delmar, me es de mucha ayuda corregiré las coordenadas del vértice fue un error de redacción.

[Ignacio Larrosa]

Hola, tengo una duda con un ejercicio.
Debo determinar la ecuación general de una parábola que cumpla con los datos Vértice(5,2) y Foco(3,2). Sabiendo que p tiene un valor de (-2) y que la parábola es horizontal con abertura hacia la izquierda, paso a desarrollar la ecuación sustituyendo los valores. Para ello tengo dos ecuaciones y es esto en donde recae mi duda ¿cuál de las ecuaciones es la correcta?

opción 1:
\( (k-y)^2=4p(x-h) \) que me da un resultado de \( y^2-4y+8x-36=0 \) que sería la ecuación general de la parábola

opción 2:
\( (x-k)=4p(y-k)^2 \) que me da un resultado de \( {8y}^2-32y+x+27=0 \) que sería la ecuación general de la parábola

Espero que me puedan ayudar gracias!!

La opción correcta es la 1, si es que \( (h, k) \) son las coordenadas del vértice. Pero me resulta todo un poco confuso. Yo lo que estoy acostumbrado a utilizar es el parámetro de la parábola, que es la distancia del foco a la directriz, que es positiva como buena distancia que es. Tu pareces llamar \( p \) a la distancia del foco al vértice, que es la mitad del parámetro. Y lo del signo ... Puede tener sentido si el eje es vertical u horizontal, pero en general no se le puede asignar un signo.

En cuanto a las ecuaciones, si el eje es horizontal vertical, hay cuatro posibilidades. Supongo que el vértice es el punto (h, k):

\( (x - h)^2 = 2p(y - k) \):  Parábola de eje vertical abierta hacia arriba

\( (x - h)^2 = -2p(y - k) \):  Parábola de eje vertical abierta hacia abajo

\( (y - k)^2 = 2p(x - h) \):  Parábola de eje horizontal abierta hacia la derecha

\( (y - k)^2 = -2p(x - h) \):  Parábola de eje horizontal abierta hacia la izquierda

Cualquiera de las cuatro situaciones está muy clara viendo la existencia o no de valores de la incógnita que está elevada al cuadrado, en función de que la otra sea mayor o menor que la correspondiente coordenada del vértice. Es decir, hay puntos de la parábola cuando el lado derecho de las ecuaciones de arriba resulta positiva, de forma que se le puede extraer la raíz cuadrada y resultan dos valores para la otra coordenada.

En general, la ecuación se obtiene imponiendo que la distancia de sus puntos al foco sea igual que a la directriz.

Saludos,

[hméndez]

Hola, tengo una duda con un ejercicio.
Debo determinar la ecuación general de una parábola que cumpla con los datos Vértice(5,2) y Foco(3,2). Sabiendo que p tiene un valor de (-2) y que la parábola es horizontal con abertura hacia la izquierda, paso a desarrollar la ecuación sustituyendo los valores. Para ello tengo dos ecuaciones y es esto en donde recae mi duda ¿cuál de las ecuaciones es la correcta?

opción 1:
\( (k-y)^2=4p(x-h) \) que me da un resultado de \( y^2-4y+8x-36=0 \) que sería la ecuación general de la parábola

opción 2:
\( (x-k)=4p(y-k)^2 \) que me da un resultado de \( {8y}^2-32y+x+27=0 \) que sería la ecuación general de la parábola

Espero que me puedan ayudar gracias!!

La opción correcta es la 1, si es que \( (h, k) \) son las coordenadas del vértice. Pero me resulta todo un poco confuso. Yo lo que estoy acostumbrado a utilizar es el parámetro de la parábola, que es la distancia del foco a la directriz, que es positiva como buena distancia que es. Tu pareces llamar \( p \) a la distancia del foco al vértice, que es la mitad del parámetro. Y lo del signo ... Puede tener sentido si el eje es vertical u horizontal, pero en general no se le puede asignar un signo.

En cuanto a las ecuaciones, si el eje es horizontal vertical, hay cuatro posibilidades. Supongo que el vértice es el punto (h, k):

\( (x - h)^2 = 2p(y - k) \):  Parábola de eje vertical abierta hacia arriba

\( (x - h)^2 = -2p(y - k) \):  Parábola de eje vertical abierta hacia abajo

\( (y - k)^2 = 2p(x - h) \):  Parábola de eje horizontal abierta hacia la derecha

\( (y - k)^2 = -2p(x - h) \):  Parábola de eje horizontal abierta hacia la izquierda

Cualquiera de las cuatro situaciones está muy clara viendo la existencia o no de valores de la incógnita que está elevada al cuadrado, en función de que la otra sea mayor o menor que la correspondiente coordenada del vértice. Es decir, hay puntos de la parábola cuando el lado derecho de las ecuaciones de arriba resulta positiva, de forma que se le puede extraer la raíz cuadrada y resultan dos valores para la otra coordenada.

En general, la ecuación se obtiene imponiendo que la distancia de sus puntos al foco sea igual que a la directriz.

Saludos,

Hola Ignacio, por aquí por estas tierras, se usa la ecuación que considera \( p \) como la "distancia focal"
más precisamente como la distancia dirgida del vértice al foco, considerando así que \( p\in{\mathbb{R}},\; p{\neq{0}} \)
y por tanto se manejan solo 2 ecuaciones. Claro esto es bajo el supuesto de que el eje de la parábola
es paralelo a los ejes coordenados.

Por ejemplo si \( p>0 \) y el eje es paralelo al eje \( Ox \) la parábola "abre" hacia la derecha, en caso contrario
"abre" hacia la izquierda, y si su eje es paralelo al eje \( Oy \) abrirá hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si
\( p \) es positivo o negativo respectivamente.

El lado recto viene dado por \( \left |{4p}\right | \) .

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola Ignacio, por aquí por estas tierras, se usa la ecuación que considera \( p \) como la "distancia focal"
más precisamente como la distancia dirgida del vértice al foco, considerando así que \( p\in{\mathbb{R}},\; p{\neq{0}} \)
y por tanto se manejan solo 2 ecuaciones. Claro esto es bajo el supuesto de que el eje de la parábola
es paralelo a los ejes coordenados.

Por ejemplo si \( p>0 \) y el eje es paralelo al eje \( Ox \) la parábola "abre" hacia la derecha, en caso contrario
"abre" hacia la izquierda, y si su eje es paralelo al eje \( Oy \) abrirá hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si
\( p \) es positivo o negativo respectivamente.

El lado recto viene dado por \( \left |{4p}\right | \) .

Saludos

Vale, es que nunca lo había visto así. Todo correcto entonces.


Saludos,