[Miguel.Angel]

Hola chicos,

tengo un problema con la siguiente serie:

\(  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{n^3 -n}  \)

Por un lado, concluyo a través del criterio del cociente su convergencia utitlizando la función \( \frac{n}{n^3}  \) como referencia, lo cual me lleva a que efectivamente ese sumatorio converge a algo.

Por otro lado, cuando intento calcular el valor del sumatorio, opto por desgranar el cociente en \( n(n+1)(n-1) \) dividir posteriormente en 3 fracciones con numeradores A,B y C y con cálculos llegar a series telescópicas....

Mi problema es cuando empiezo a expandir, para el n=1 se me anula a causa del (n-1) en el denominador, cosa que se aprecia ya en el sumatorio original ¿Qué debo hacer? ¿Empezar a expandir con n=2? ¿debo utilizar otro método?

A ver esas mentes compañeros!

Gracias

 

[delmar]

Hola

Esa serie, tal como esta escrita no converge, por la razón, que el primer término de la serie, el correspondiente a n=1 es infinito. Si la serie comienza desde 2, la serie  si converge y descomponer en fracciones simples el término enésimo, te lleva a que es una serie teléscopica y el valor al que converge se puede calcular.


Saludos

[Miguel.Angel]

Gracias delmar por tu rápida y concisa respuesta.

Desde la ignorancia permíteme discrepar con la convergencia, y por favor, corrígeme si me equivoco en mi argumento: tal y como está escrita sí que converge ya que para n=1 el infinito se encuentra en el denominador y hablaríamos de 0 como primer término ¿Puede ser?

Por otro lado ¿Tienes algún criterio para darte cuenta a simple vista si determinada serie, como puede ser ésta, sale por series telescópicas o no?

Gracias una vez más!

[delmar]

El primer término de la serie es \( \displaystyle\frac{n+2}{n^3-n} \) para n=1, esto significa : \( \displaystyle\frac{n+2}{n^3-n}=\displaystyle\frac{1+2}{1^3-1}=\displaystyle\frac{3}{0}=\infty \). En realidad , en rigor esta no es una serie, por que para que sea serie, ha de ser la sucesión de sumas parciales, de una sucesión de números y en este caso el primer elemento de la sucesión de números, no es un número (el infinito no es un número).
Respecto a un criterio a simple vista, no del que sea consciente, para esto de darse cuenta a ojo de buen cubero, cuenta la experiencia y la intuición es decir cuanto más problemas resuelvas, y trates de captar si es una serie teléscopica, más posibilidades de acertar.

Por otra parte sale por series teléscopicas, descompones en fracciones simples el término de la sucesión \( \displaystyle\frac{n+2}{n^3-n} \) y luego haz un arreglo para ponerlo en forma :\( \displaystyle\frac{n+2}{n^3-n}=b_n-b_{n+1} \)

Saludos

[Masacroso]

delmar permíteme que te corrija pero la expresión \( 3/0 \) no es infinito, simplemente no está definida en la recta real usual, carece de valor.

Spoiler

En otras estructuras algebraicas, por ejemplo en la recta real proyectiva, si \( x\neq 0 \) se define como \( x/0=:\infty \), pero esta no es el álgebra usual de la recta real.

[cerrar]

[Ignacio Larrosa]

Hola chicos,

tengo un problema con la siguiente serie:

\(  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{n^3 -n}  \)

Por un lado, concluyo a través del criterio del cociente su convergencia utitlizando la función \( \frac{n}{n^3}  \) como referencia, lo cual me lleva a que efectivamente ese sumatorio converge a algo.

Por otro lado, cuando intento calcular el valor del sumatorio, opto por desgranar el cociente en \( n(n+1)(n-1) \) dividir posteriormente en 3 fracciones con numeradores A,B y C y con cálculos llegar a series telescópicas....

Mi problema es cuando empiezo a expandir, para el n=1 se me anula a causa del (n-1) en el denominador, cosa que se aprecia ya en el sumatorio original ¿Qué debo hacer? ¿Empezar a expandir con n=2? ¿debo utilizar otro método?

A ver esas mentes compañeros!

Gracias

Como ya se ha comentado, tiene que ser

\(  \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{n+2}{n^3 -n}  \)

Descomponiendo en fracciones simples, y haciendo la suma parcial hasta \( k \), queda

\(  \displaystyle\sum_{n=2}^k \left(\frac{3}{2(n-1)} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{2}{n}\right)  \)

Escribe explícitamente al menos todos los términos para \( n = 2,3, k-1\textrm{ y }k \), para poder determinar que se cancela y que permanece. Después simplifica y halla el límite cuando \( k\rightarrow{\infty} \).

Saludos,

[Abdulai]

Nota que:   \( \dfrac{3}{2}\;\dfrac{1}{n-1} + \dfrac{1}{2}\,\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{2}{n} = 2\,\left( \dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n+1}\right) \)