Gracias por responder Luis, he intentado nuevamente lo siguiente:
Sean \( x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n \) las coordenadas estándar de \( \mathbb{R}^{2n} \). Para cada \( n\in \mathbb{N} \) la esfera impar (unitaria) \( S^{2n-1} \) es definida por la ecuación \( \displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1 \), es decir, \( S^{2n-1}=\left \lbrace (x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n)\in \mathbb{R}^{2n}:\displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1 \right \rbrace \).
Sea \( p=(x^1,...,x^n,y^1,...,y^n)\in \mathbb{R}^{2n} \) un punto sobre \( S^{2n-1} \), entonces \( \Vert p \Vert = (x^1)^2+...+(x^n)^2+(y^1)^2+...+(y^n)^2=1 \). Consideremos el campo vectorial \( X=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i} \). La notación \( X(p)=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i} \) define al vector \( (-y^1,-y^2,...,-y^n,x^1,x^2,...,x^n)\in \mathbb{R}^{2n} \) (situado en \( p \)). Notar que, como \( \left \langle \dfrac{\partial}{\partial x^i},\dfrac{\partial}{\partial x^i} \right \rangle = \left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^i},\dfrac{\partial}{\partial y^i} \right \rangle = 1 \) se tiene que:
\( \langle X(p),p \rangle = -x^1y^1-x^2y^2-...-x^ny^n+x^1y^1+x^2y^2+...+x^ny^n=0 \), es decir, se cumple que \( X(p)\bot p \).
Además \( \Vert X(p) \Vert^2 = (y^1)^2+(y^2)^2+...+(y^n)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+...+(x^n)^2=1 \Rightarrow \Vert X(p)\Vert=1 \). Por lo tanto, \( X(p) \) es el campo vectorial que cumple lo pedido.
