Hola a todos, necesito ayuda con estos ejercicios.
Tengo que ver si los siguientes conjuntos están acotados en \( \mathbb{l^2} \)
1.-\( S_{1}=\{ \displaystyle\sum_{n=1}^k{} (-1)^{3n+1} e_{n} : k\in{} \mathbb{N} \} \)
\( x_{k}=\{ \displaystyle\sum_{n=1}^k{} (-1)^{3n+1} e_{k} \} \)
\( S_{1}=\{ x_{k} : k\in{} \mathbb{N} \} \)
\( x_{1}=(1,0,0,...) \)
\( x_{2}=(1,-1,0,...) \)
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\( x_{k}=(1,-1,...,\displaystyle\frac{(-1)^{3k+1}}{k},0,...,0) \)
de donde se tiene que:
\( \left\|{x_{1}}\right\|^2=1 \)\( \left\|{x_{2}}\right\|^2=2 \)...\( \left\|{x_{k}}\right\|^2=k \)
luego no es acotado, \( \left\|{x_{k}}\right\|=\sqrt{k} \)
2.-\( S_{2}=\{ \displaystyle\sum_{n=1}^k{} (1/\sqrt{n}) e_{n} : k\in{} \mathbb{N} \} \)
Creo que no es acotado también, pero no consigo identificarlo con una serie no convergente
3.-\( S_{3}=\{ \displaystyle\sum_{n=k}^\infty{} \displaystyle\frac{n}{(n+1)^2} e_{n} : k\in{} \mathbb{N} \} \)
Veo claro que es acotado, porque todos tienen norma menor que \( x_{1} \)
\( x_{1}=(\displaystyle\frac{1}{4})^2+(\displaystyle\frac{2}{9})^2+(\displaystyle\frac{3}{16})^2+(\displaystyle\frac{4}{25})^2+... \) ¿con encontrar una cota de \( x_{1} \) bastaría, no?
Después me piden lo mismo pero ver si están acotados en \( C[0,\pi] \)
4.-\( S_{4}=\{ sin(n^n t) : n\in{}\mathbb{N}\} \)
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi} sin(n^n t) dt \leq{} \int_{0}^{\pi} 1 dt \) luego es acotado
5.-\( S_{5}=\{ \displaystyle\frac{cos(nt)}{n} : n\in{} \mathbb{N} \} \)
6.-\( S_{6}=\{ ncos(t)+sin(nt) : n\in{} \mathbb{N} \} \)
7.-\( S_{7}=\{ \sqrt{n} (t/\pi)^n : n\in{} \mathbb{N} \} \)
8.-\( S_{8}=\{ ncos(\displaystyle\frac{t}{n}) : n\in{} \mathbb{N} \} \)
Gracias de antemano
Un saludo
