[MainOwner]

Hola, necesito ayuda con estos ejercicios:
1. El conjunto de todos los escalares \( \lambda\in{\mathbb{C}} \) que cumplen \( \left<{\lambda x,\lambda e_{3}}\right>=5i \)
con \( x=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3^{n}}e_{2n-1}} \)
2. El conjunto de todos los escalares \( \lambda\in{\mathbb{C}} \) que cumplen \( \left<{\lambda x,\overline{\lambda} e_{4}}\right>=8 \)
con \( x=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}e_{2n}} \)
Para el 2. ¿sería ésto correcto?
\( \left<{\lambda x,\overline{\lambda} e_{4}}\right>=8 \)\( \Longrightarrow{} \)\( \lambda ^{2} \left<{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}e_{2}, e_{2}}\right>=8 \)\( \Longrightarrow{} \)\( \lambda ^{2} \frac{\sqrt{2}}{8}=8 \)

Muchas gracias
Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, necesito ayuda con estos ejercicios:
1. El conjunto de todos los escalares \( \lambda\in{\mathbb{C}} \) que cumplen \( \left<{\lambda x,\lambda e_{3}}\right>=5i \)
con \( x=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3^{n}}e_{2n-1}} \)
2. El conjunto de todos los escalares \( \lambda\in{\mathbb{C}} \) que cumplen \( \left<{\lambda x,\overline{\lambda} e_{4}}\right>=8 \)
con \( x=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}e_{2n}} \)
Para el 2. ¿sería ésto correcto?
\( \left<{\lambda x,\overline{\lambda} e_{4}}\right>=8 \)\( \Longrightarrow{} \)\( \lambda ^{2} \left<{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}e_{2}, e_{2}}\right>=8 \)\( \Longrightarrow{} \)\( \lambda ^{2} \frac{\sqrt{2}}{8}=8 \)

Deberías de contextualizar más la pregunta.

Presupongo que estás manejando un producto vectorial complejo dondo \( \{e_i\} \) es un sistema ortonormal. Confirma que es así.

En ese caso, el segundo está bien.

El primero te quedaría:

\( 5i=\lambda\bar\lambda<x,e_3>=|\lambda|^2\dfrac{\sqrt{2}}{3^2} \)

y no existe ningún valor de \( \lambda \) que verifique esto ya que el término de la derecha es siempre un número real.

Saludos.

[MainOwner]

Hola
Si, estoy usando el producto vectorial complejo
No entendí lo de que \( {e_{i}} \) es un sistema ortonormal.
\( \left<{v_{i},v_{j}}\right>=0 \ si\ i\neq{}j \) Eso lo entiendo
pero no veo esto:
\(  \left\|{v_{i}}\right\|=1,\ para\ todo\ i\in{ \{{1,2,...,n}\} } \)

Gracias.
Un saludo

[Masacroso]

Hola
Si, estoy usando el producto vectorial complejo
No entendí lo de que \( {e_{i}} \) es un sistema ortonormal.
\( \left<{v_{i},v_{j}}\right>=0 \ si\ i\neq{}j \) Eso lo entiendo
pero no veo esto:
\(  \left\|{v_{i}}\right\|=1,\ para\ todo\ i\in{ \{{1,2,...,n}\} } \)

Gracias.
Un saludo

Por definición una base ortonormal tiene modulo 1 en todos sus vectores. Una base ortogonal no tiene necesariamente sus vectores con módulo 1.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola
Si, estoy usando el producto vectorial complejo

Dices "el" producto vectorial complejo. Hay muchos productos vectoriales complejos. Supongo que te refieres al usual.

No entendí lo de que \( {e_{i}} \) es un sistema ortonormal.
\( \left<{v_{i},v_{j}}\right>=0 \ si\ i\neq{}j \) Eso lo entiendo
pero no veo esto:
\(  \left\|{v_{i}}\right\|=1,\ para\ todo\ i\in{ \{{1,2,...,n}\} } \)

No estoy seguro de cual es tu duda. Básicamente te pedia que aclarares a que llamas \( e_i \). De otras preguntas que has hecho intuyo que te refires a las sucesiones todas nulas excepto un \( 1 \) en la posición \( i \)-ésima.

En ese caso forma un sistema ortonormal con el producto escalar usual, así que todo sería como te indiqué.

Saludos.