[Gudise]

Hola, últimamente vengo dando vueltas a una duda con la definición de integral de Riemann como límite de la suma,

\( \displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\, dx = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{L}{n}\,f\left({k\,\frac{L}{n}}\right)}} \)

Mi duda es: si el conjunto de sumandos del límite es numerable (dado que el propio conjunto \( \left\{{k}\right\}=\mathbb{N} \)), ¿cómo es que se puede sustituir por una "suma" en el conjunto de los reales \(  \mathbb{R} \), que contiene muchos más elementos ?

 Gracias

[robinlambada]

Hola Gudise, bienvenido al foro.

Hola, últimamente vengo dando vueltas a una duda con la definición de integral de Riemann como límite de la suma,

\( \displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\, dx = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{L}{n}\,f\left({k\,\frac{L}{n}}\right)}} \)

Mi duda es: si el conjunto de sumandos del límite es numerable (dado que el propio conjunto \( \left\{{k}\right\}=\mathbb{N} \)), ¿cómo es que se puede sustituir por una "suma" en el conjunto de los reales \(  \mathbb{R} \), que contiene muchos más elementos ?

 Gracias

Es que no se sustituye por una suma en el conjunto de los reales, es decir ,no estas sumando rectas verticales cuando pasas al límite, siempre estas sumando n rectángulos de base \( \dfrac{L}{n} \) . Lo que ocurre es que en el límite se demuestra que la suma coincide con el área encerrada y al límite de la suma se le llama integral de Riemman.
Pero repito no estas sumando en el conjunto de los reales, siempre tienes rectángulos de base infinitesimal, de anchura \( dx \), de hecho como has advertido \( \mathbb{R} \) no es numerable

Saludos.

[Gudise]

Es la respuesta más satisfactoria a un problema: no existe el problema. 

Muchas gracias robinlambada

[feriva]

\( \displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\, dx = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{L}{n}\,f\left({k\,\frac{L}{n}}\right)}} \)

Mi duda es: si el conjunto de sumandos del límite es numerable (dado que el propio conjunto \( \left\{{k}\right\}=\mathbb{N} \)), ¿cómo es que se puede sustituir por una "suma" en el conjunto de los reales \(  \mathbb{R} \), que contiene muchos más elementos ?

Hola. Con un ejemplo sencillo: En el intervalo cerrado [1,7] existe una cantidad no numerable de números reales desde 1 a 7; ahora bien, no dejamos de tener una longitud finita 7-1=6, la cual podemos dividir entre cualquier  natural“n” obteniendo una cantidad finita de particiones cuyo valor vendrá dado por un número racional ya que, numerador y denominador son enteros.

Saludos.