[ianrivasyo]

Hola, tengo un problema y es que no entiendo lo que estaría pidiendo el siguiente ejercicio:

     En el grupo \( (G,\circ{}) \) se define el subconjunto \( (H,\circ{}) \) que verifica:

     \( \forall{} x  \forall{} y : (x\in{}H \wedge y\in{}H)\rightarrow{} (x\circ{}y')\in{}H \)

     Demostrar que \( (H,\circ{}) \) es un subgrupo de \( (G,\circ{}) \)

Lo que no entiendo es que ¿no se supone que, si \( (H,\circ{}) \) es subconjunto de \( (G,\circ{}) \) y verifica ese teorema dado, es suficiente para decir que \( (H,\circ{}) \) es subgrupo de \( (G,\circ{}) \)?

Tengo entendido que esa formula es un teorema para demostrar que un grupo es subgrupo de otro, pero como ya el ejercicio dice que lo verifica, supongo que mas bien lo que debo hacer es demostrar la validez del teorema, pero esto no se como hacerlo (igual esto supongo yo, no se si será así).

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo un problema y es que no entiendo lo que estaría pidiendo el siguiente ejercicio:

     En el grupo \( (G,\circ{}) \) se define el subconjunto \( (H,\circ{}) \) que verifica:

     \( \forall{} x  \forall{} y : (x\in{}H \wedge y\in{}H)\rightarrow{} (x\circ{}y')\in{}H \)

     Demostrar que \( (H,\circ{}) \) es un subgrupo de \( (G,\circ{}) \)

Lo que no entiendo es que ¿no se supone que, si \( (H,\circ{}) \) es subconjunto de \( (G,\circ{}) \) y verifica ese teorema dado, es suficiente para decir que \( (H,\circ{}) \) es subgrupo de \( (G,\circ{}) \)?

Tengo entendido que esa formula es un teorema para demostrar que un grupo es subgrupo de otro, pero como ya el ejercicio dice que lo verifica, supongo que mas bien lo que debo hacer es demostrar la validez del teorema, pero esto no se como hacerlo (igual esto supongo yo, no se si será así).

 En el enunciado te falta exigir que \( H\neq \emptyset \).

 Para que el ejercicio tenga sentido tienes que tener una definición de subgrupo distinta de la caracterización que propone este ejericio.

 Supongo que te habrán definido subgrupo de \( G \) como un subconjunto \( H \) de \( G \) que con las operaciones de \( G \) restringidas a él sigue teniendo estructura de grupo.

 Entonces supongamos que \( H \) es no vacío y cumple:

     \( \forall{} x  \forall{} y : (x\in{}H \wedge y\in{}H)\rightarrow{} (x\circ{}y')\in{}H \)

 Deducimos:

 1) El neutro \( e\in H \), ya que por ser no vacío existe \( x\in H \) y así \( e=x\circ x'\in H \).
 2) Todo elemento \( x\in H \) tiene opuesto en \( H \), ya que \( e\circ x'=x' \).
 3) Las operaciones de grupo restringen a \( H \), es decir, si \( x,y\in H \) entonces \( x\circ y\in H \), ya que por (2) \( y'\in H \) y entonces:

\(  x\circ y=x\circ (y')'\in H
 \)

 Intenta el recíproco...

Saludos.