Muy buenas,
a ver si me podéis ayudar.
Necesito calcular el punto de corte de 3 esferas.
Como premisa se que estas 3 siempre se van a cortar en un punto.
¿Que fórmula matemática habría para hacerlo? Me gustaría hacer un programa que lo calcule.
Tienes que resolver el sistema que forman las ecuaciones de las tres esferas. Resolver un sistema de tres ecuaciones de segundo grado en tres variables puede ser realmente complicado en general, pero en este caso las ecuaciones siempre pueden escribirse de forma que los términos cuadráticos tengan el mismo coeficiente, por ejemplo 1. Sean entonces las tres esferas:
\( x^2 + y^2 + z^2 + A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \)
\( x^2 + y^2 + z^2 + A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \)
\( x^2 + y^2 + z^2 + A_3x + B_3y + C_3z + D_3 = 0 \)
Si restas dos pares de ecuaciones, por ejemplo le restas la primera a las otras dos, te va a quedar un sistema lineal de dos ecuaciones con tres incognitas:
\( (A_2-A_1)x + (B_2-B_1)y + (C_2-C_1)z + (D_2-D_1) = 0 \)
\( (A_3-A_1)x + (B_3-B_1)y + (C_3-C_1)z + (D_3-D_1) = 0 \)
Te quedan las ecuaciones de dos planos, que conjuntamente definen una recta. Lo más cómodo será obtener una ecuación paramétrica de esta recta. A continuación hay que sustituir las tres coordenadas en función del parámetro en la ecuación de cualquiera de las circunferencias. Te quedara una ecuación de 2º grado en el parámetro, que tendrá dos soluciones, excepcionalmente una o ninguna. Para obtener los puntos, si los hay,sustituyes el valor del parámetro en las ecuaciones paramétricas de la recta.
Como digo, normalmente se cortaran las tres simultáneamente en dos puntos o en ninguno; para que se corten en uno solo, una debería pasar por el punto de tangencia de las otras dos.
Saludos,
