Hola no me resulta esta identidad
\( (sin(2 \pi /7)+sin(4 \pi /7)+sin(8 \pi /7))^2=7/4 \)
Desarrollando el cuadrado, queda
\( A = \sen^2\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) + \sen^2\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) + \sen^2\left(\displaystyle\frac{8\pi}{7}\right) + 2\sen\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)\sen\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) + 2\sen\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)\sen\left(\displaystyle\frac{8\pi}{7}\right)+2\sen\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)\sen\left(\displaystyle\frac{8\pi}{7}\right) \)
Teneiendo en cuenta que \( 2\sen\alpha \sen\beta = \cos(\alpha -\beta) - \cos(\alpha + \beta) \), nos queda
\( A = \sen^2\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) + \sen^2\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) + \sen^2\left(\displaystyle\frac{8\pi}{7}\right) + \cancel{\cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)} - \cancel{\cos\left(\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)} + \cancel{\cos\left(\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)} -
\cancel{\cos\left(\displaystyle\frac{10\pi}{7}\right)}+\cancel{\cos\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)}-\cancel{\cos\left(\displaystyle\frac{12\pi}{7}\right)} \)
teniendo en cuenta que \( \cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) = \cos\left(\displaystyle\frac{12\pi}{7}\right)\textrm{ y que }\cos\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) = \cos\left(\displaystyle\frac{10\pi}{7}\right) \)
Queda por tanto tan solo
\( A = \sen^2\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) + \sen^2\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) + \sen^2\left(\displaystyle\frac{8\pi}{7}\right) \)
Consideremos la identidad (fórmula de De Moivre),
\( \left(\cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)+ i\cdot{}\cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)\right)^7 = \cos 2\pi + i\cdot{}\sen 2\pi = 1 \)
(igualdad que puede escribirse igualmente para \( \displaystyle\frac{2k\pi}{7}, k = 0, 1, \ldots, 6 \))
Llamando por brevedad \( c = \cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)\textrm{ y }s =\cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) \), nos queda
\( (c + i\cdot{}s)^7 = c^7 + 7c^6s\cdot{}i - 21c^5s^2-35c^4s^3\cdot{}i+35c^3s^4+21c^2s^5\cdot{}i-7cs^6-s^7\cdot{}i = 1 \)
Igualando a cero la parte imaginaria y dividiendo por \( s \), queda
\( 7c^6 -35c^4s^2+21c^2s^4-s^6 = 0 \)
\( 7(1 - s^2)^3 -35(1-s^2)^2s^2+21(1-s^2)s^4-s^6 = 0 \)
que simplificando queda:
\( 64s^6 - 112s^4 + 56s^2 - 7 = 0 \)
O reemplazando \( S = s^2 \),
\( 64S^3 - 112S^2 + 56S - 7 = 0 \)
Las tres soluciones de esta ecuación son, teniendo en cuenta que ángulos opuestos o que suman \( 2 \pi \), tienen senos opuestos,
\( \sen^2\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)=\sen^2\left(\displaystyle\frac{12\pi}{7}\right) \)
\( \sen^2\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)=\sen^2\left(\displaystyle\frac{10\pi}{7}\right) \)
\( \sen^2\left(\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)=\sen^2\left(\displaystyle\frac{8\pi}{7}\right) \)
Notese que \( \sen^2\left(\displaystyle\frac{0\pi}{7}\right) = 0 \) se eliminó al dividir por \( s \).
Por tanto, de acuerdo con las relaciones de Cardano-Vieta, la suma de las tre soluciones es
\( A = -\left(\displaystyle\frac{-112}{64}\right) = \displaystyle\frac{7}{4} \)
Saludos,
