Hola,
llanten, no había visto tu respuesta, lo siento.
Para empezar con análisis funcional te puede servir el libro mencionado por fem_machine. De hecho ahí prueban varias versiones del teorema espectral (por ejemplo, para operadores acotados autoadjuntos). Otro que me gusta (del que leí partes en su momento) es Functional Analysis de Bachman y Narici. Ese, si no recuerdo mal, tiene más versiones del teorema espectral.
Dependiendo de tus intereses después se debe escoger un libro sobre teoría espectral. Pero primero debes saber lo básico de análsis funcional.