Me parece interesante tu sugerencia, voy hacerla por ese lado ya que me habían dado una sugerencia de utilizar la sucesión \( $x_n=\dfrac{2}{(2n+1)*\pi}$ \) y me dijeron que demostrara que era de Cauchy y luego utilizara teoremas de continuidad, pero la verdad no supe cómo hacerlo. Si me pueden ayudar por esta forma se los agradecería.
Buenas noches.
Quisiera saber si utilizando la sugerencia de la sucesión, puedo demostrar que esta función no es uniformemente continua.
Gracias.
Tal vez esa sugerencia viene por el lado de que una función \( f:X\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) es uniformemente continua en su dominio si, y sólo si, para todo par de sucesiones \( (x_n)\subset X \) e \( (y_n)\subset X \) que cumpla \( |x_n-y_n|\xrightarrow[n\xrightarrow{}\infty]\,{0} \), se verifica \( |f(x_n)-f(y_n)|\xrightarrow[n\xrightarrow{}\infty]\,{0} \).
En nuestro caso, para \( f(x)=\sen(1/x) \) en \( X=]0,\infty[ \) toma \( x_n=\dfrac{2}{(4n+1)\pi} \) e \( y_n=\dfrac{1}{2\pi n} \). Claramente \( |x_n-y_n| \) tiende a cero, pero \( |f(x_n)-f(y_n)|=1 \).
Añado: ¡Muchas gracias! Ahora sí estás escribiendo bien
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