[agusssrs]

Buenas noches, estoy estudiando para mi parcial y estoy bastante perdido, pero sobre todo en este tema de las cotas, extremos, etc. Tengo los siguientes conjuntos y no sé qué hacer, busqué tutoriales pero ningún ejemplo se asemeja a los que tengo yo.

Si alguien me puede dar una mano estaría muy agradecido. Los conjuntos son los que aparecen en la foto:

\( \displaystyle{
\begin{align*}
&A = \{ x \,|\, -1 \leq x < 6 \,\lor\,  x = 8 \} && B = \{x \,|\, x = 1 \,\lor\,  3 \leq x < 7 \}\\[.5em]
&C = \left\{x \,\middle|\, x = \dfrac{1}{n} \,\land\,  n \in \mathbb{N}\right\} && D = \left\{x \,\middle|\, x = \dfrac{2n}{n+1} \,\land\,  n \in \mathbb{N} \right\}\\
&E = \left\{x \,\middle|\, x = \dfrac{3n+1}{n+2} \,\land\,   \in \mathbb{N} \right\} && F = \left\{x \,\middle|\, x = \dfrac{n^2+1}{2n} \,\land\,  n \in \mathbb{N} \right\}
\end{align*}
} \)

Mensaje de la moderación: se ha corregido la ortografía. Hallar se escribe con ll, no con y. También se ha transcrito la imagen a \( \LaTeX \).
Recuerda leer y seguir las reglas del foro así como el tutorial de \( \LaTeX \) para escribir las expresiones matemáticas correctamente.

[delmar]

Hola agusssrs

Bienvenido al foro

Las fórmulas se escriben en LATEX y se muestra lo que se ha hecho por resolver el problema.

Te ayudo con el F


Si das valores a la expresión con n=1,2,3 ... se observa que \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}=1,\displaystyle\frac{5}{4},\displaystyle\frac{10}{6}... \) todos estos resultados son mayores o iguales que 1, entonces es razonable suponer que \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1} \) y se procede a demostrarlo, en caso sea cierto se tiene  \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1}\Rightarrow{n^2+1\geq{2n}}\Rightarrow{n^2-2n+1\geq{0}}\Rightarrow{(n-1)^2\geq{0}} \) se tendría que demostrar esto último y es pues una identidad, es cierta; en consecuencia la suposición es correcta \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1} \) esto es válido \( \forall{n}\in{N} \), por definición 1 es cota inferior de F y más aún \( 1\in{F} \), en consecuencia es un mínimo de F. Se puede averiguar si existe una cota superior de F  por reducción al absurdo, se supone que \( \exists{K}\in{R} \ / \ K\geq{\frac{n^2+1}{2n}}, \forall{n}\in{N}  \) esto implica que \( n^2-2Kn+1\leq{0} \) factorizando hay dos raíces :

\( r_1=\displaystyle\frac{2K+\sqrt[ ]{4K^2-4}}{2}=K+\sqrt[ ]{K^2-1} \)


\( r_2=\displaystyle\frac{2K-\sqrt[ ]{4K^2-4}}{2}=K-\sqrt[ ]{K^2-1} \)

Entonces se tiene :

\( (n-(K+\sqrt[ ]{K^2-1}))(n-(K-\sqrt[ ]{K^2-1}))\leq{0} \) esto ha de ser válido para todo n y donde K>1 necesariamente.

Para que sea cierta la inecuación se ha de dar :

I)
\( n-(K+\sqrt[ ]{K^2-1})\geq{0}\wedge n-(K-\sqrt[ ]{K^2-1})\leq{0}\Rightarrow{K+\sqrt[ ]{K^2-1}\leq{n}\leq{K-\sqrt[ ]{K^2-1}}} \) esto es absurdo el miembro de la derecha e menor que el de la izquierda

II)

\( n-(K+\sqrt[ ]{K^2-1})\leq{0}\wedge n-(K-\sqrt[ ]{K^2-1})\geq{0}\Rightarrow{n\leq{K+\sqrt[ ]{K^2-1}}} \) los números naturales serían acotados superiormente , absurdo, en consecuencia ...




Saludos

[manooooh]

Hola

Si das valores a la expresión con n=1,2,3 ... se observa que \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}=1,\displaystyle\frac{5}{4},\displaystyle\frac{10}{6}... \) todos estos resultados son mayores o iguales que 1, entonces es razonable suponer que \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1} \) y se procede a demostrarlo, en caso sea cierto se tiene  \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1}\Rightarrow{n^2+1\geq{2n}}\Rightarrow{n^2-2n+1\geq{0}}\Rightarrow{(n-1)^2\geq{0}} \) se tendría que demostrar esto último y es pues una identidad, es cierta (...)

¿Allí aplicas inducción?

Porque me da la sensación que partes de lo que se quiere demostrar, y eso no es correcto. Es como intentar demostrar que \( x=x \) haciendo \( 0\cdot x=0\cdot x \) y eso da \( 0=0 \) que es cierto; porque el mismo argumento se podría usar para "demostrar" \( 0=1 \) (\( 0\cdot0=0\cdot1 \) luego \( 0=0 \) es cierto).

Saludos

[delmar]

No sé exactamente que parte esta oscura; pero no aplico inducción matemática. En la última parte \( (n-1)^2\geq{0} \) esto es cierto, se puede demostrar, y luego se puede llegar invirtiendo el camino a \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n} \)

Saludos

[manooooh]

Hola

No sé exactamente que parte esta oscura; pero no aplico inducción matemática. En la última parte \( (n-1)^2\geq{0} \) esto es cierto, se puede demostrar, y luego se puede llegar invirtiendo el camino a \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n} \)

No debo tener un buen día porque no lo acabo de ver

"y luego se puede llegar invirtiendo el camino a \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n} \)" no es una proposición lógica \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n} \).

Había entendido que tu objetivo era demostrar que \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1} \) como dices:

(...) entonces es razonable suponer que \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1} \) y se procede a demostrarlo (...)

Y para demostrarlo usas \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1} \), ¡que es lo que quieres demostrar! ¿En qué parte me perdí?

Saludos

[delmar]

El objetivo es demostrar que \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1}, \ \ \forall{n}\in{N} \), esta idea se sospecha al dar valores n=1,2,3. Y en efecto lo considero cierto y se deduce \( (n-1)^2\geq{0} \) y esto es cierto (se puede demostrar); pero esto en general no significa que la suposición de la que se partío sea cierta; pero en este caso se puede desandar el camino deduciendo y se llega a \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1}, \ \ \forall{n}\in{N} \), el desandar no creo necesario detallarlo; por eso no lo expuse. Gracias de todas maneras por la inquietud.

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Puedes hacer, si \( n=1 \) tenemos que \( \dfrac{1^2+1}{2 \cdot 1} = 1 \) y si \(  n \geq 2 \) tenemos:\( \dfrac{n^2+1}{2n} > \dfrac{n^2}{2n} = \dfrac{n}{2} \geq 1 \)
Para ver que no está acotado superiormente.
Dado \( A > 0 \) como \( \dfrac{n^2+1}{2n} > \dfrac{n}{2} \) sólo hay que tomar \( n > 2 \cdot A \)

[delmar]

manooooh voy a mostrar el desandar a partir de \( (n-1)^2\geq{0}\Rightarrow{n^2-2n+1\geq{0}}\Rightarrow{n^2+1\geq{2n}} \) en este punto \( 2n>0 \) luego multiplicando la inecuación por \( \displaystyle\frac{1}{2n} \) se tiene \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2n}\geq{1} \)

L.q.q.d.


Saludos

[agusssrs]

Muchas gracias a todos los que me dieron una mano.
Lo pude entender, al final era bastante siemple pero me mareó bastante la verdad.
¡Saludos!