[Juan Pablo Sancho]

Al poner \( d  \) como combinación lineal, se queda  \(  d = a \cdot s + b \cdot t  \) no especifican que \(  s=t=d  \)

Si \(  d \cdot a + d \cdot b = d  \) entonces \( a+b = 1  \) cosa que no lo indica el enunciado y puede ser falso.

[Marcos Castillo]

Hola, Juan Pablo, muy buena observación.

[Marcos Castillo]

Por un lado tienes que si:

1.) \( m|a  \) y \(  m|b  \) entonces para todo \(  s,t \in \mathbb{Z}  \) se tiene \(  m|a \cdot s + b \cdot t  \)

2.) Si \(  m|t  \) y \( t|m  \) entonces \( |t| = |m|  \) si los dos son positivos entonces \(  t = m  \)

Si \( d  \) se puede expresar como una combinación lineal de \( a  \) y \( b \) entonces existen \( s,t  \) con :

\(  d = a \cdot s + b \cdot t  \) como \(  mcd(a,b)|a  \) y \(  mcd(a,b)|b  \) usa 1.)

Como \( d|a  \) y \( d|b  \) tienes \( d|mcd(a,b)  \) ahora usa 2.)

Hola, Juan Pablo
No me quedan claras las implicaciones de las afirmaciones que escribes. Se que es una marcha atras, pero todavia estoy muy verde.😒

[Juan Pablo Sancho]

Te pongo ciertas propiedades sacadas de un libro (hay más propiedades de las que necesitas):

1.) \( n|n \) propiedad reflexiva.

Spoiler

\(  n = n \cdot 1  \)

[cerrar]

2.) \( d|n  \) y \( n|m \) implica \( d|m  \) propiedad transitiva.

Spoiler

De \(  d|n  \) se tiene \(  n=d \cdot t \)

De \(  n|m   \) se tiene \( m = n \cdot s  \)

Entonces \(  m = n \cdot s = (d \cdot t ) \cdot s = d \cdot (t \cdot s)  \) entonces \( d|m  \)

[cerrar]

3.) \( d|n  \) y \( d|m  \) entonces \(  d| (k \cdot n+ t \cdot m)  \) propiedad lineal.

Spoiler

\(  n = d \cdot y  \) y \(  m = d \cdot u  \) entonces para todo \( k,t \in \mathbb{Z}  \) tenemos  :

\(  k \cdot n+ t \cdot m = k \cdot d \cdot y + t \cdot d \cdot u = d \cdot [k \cdot y + t \cdot u] = d \cdot l  \) entonces \( d|  k \cdot n+ t \cdot m  \)

[cerrar]

4.) \( d|n  \) implica \( dn|an  \) propiedad de multiplicación .

Spoiler

\(  n = d \cdot m  \) entonces \(  an = (ad) \cdot m  \) queda \(  ad|an  \)

[cerrar]

5.)\(  ad|an  \) y \( a \neq 0  \) entonces \( d|n  \) propiedad de simplificación.

Spoiler

\( an = ad \cdot m  \) entonces \(  an - ad \cdot m = 0  \), saco factor común \(  a  \) y queda:

\(  a \cdot [n - d \cdot m] = 0  \) como \(  a \neq 0  \) tenemos \(  n = d \cdot m  \) entonces \(  d|n  \)

[cerrar]

6.) \( 1|n  \) el \( 1  \) divide a todos los enteros.

Spoiler

\( n= 1 \cdot n  \)

[cerrar]

7.) \( n|0  \) cada entero divide al cero.

Spoiler

\(  0 = n \cdot 0  \) para todo \(  n\in \mathbb{Z}  \)

[cerrar]

8.) \(  0|n  \) entonces \(  n=0  \) el cero sólo divide al cero.

Spoiler

 
\(  n = 0 \cdot m  \) entonces \(  n=0  \)

[cerrar]

9.) Si \( d|n \) y \(  n \neq 0  \) entonces \( |d| \leq |n|  \) propiedad de comparación.

Spoiler

\(  n= d \cdot m  \) por ser \( n\neq 0  \) lo será \( d  \) y \(  m \) y por ser \(  m \neq 0  \) tenemos \( |m|\geq 1  \) entonces:

\(  |n| = |d| \cdot |m| \geq |d|\cdot 1 = |d|  \)

[cerrar]

10.) Si \( d|n  \) y \(  n|d  \) entonces \(  |d| = |n|  \)

Spoiler

Por el ejercicio anterior:

\(  d|n  \) entonces \( |d|\leq |n|  \)

\(  n|d  \) entonces \( |n|\leq |d|  \)

Entonces \(  |n| = |d|  \)

[cerrar]

11.) Si \(  d|n  \) y \(  d\neq 0  \) entonces \( n/d|n  \)

Spoiler

\(  n= d \cdot m = m \cdot d \) donde \(  m= n/d  \) es el divisor conjugado de \(  d  \)

[cerrar]

Entonces volviendo al problema tenemos:

\(  d  \) se puede representar como combinación lineal de \(  a  \) y \(  b  \) entonces \(  d = a \cdot t + b \cdot s  \).

Tenemos que \(  mcd(a,b)|a  \) y \( mcd(a,b)|b  \) entonces utilizo la propiedad lineal para ver que \( mcd(a,b)|d  \)

Tenemos que \(  d|a  \) y \( d|b  \) entonces \(  d | mcd(a,b)  \) utilizo la propiedad \( 10  \) y nos queda \(  |mcd(a,b)| = |d|  \) pero como tanto

el \( mcd(a,b) > 0  \) como \(  d > 0  \) tenemos \(  mcd(a,b) = d  \)

[Marcos Castillo]

No tengo ahora internet en la tienda. Respondo al mediodia. Estoy estudiandolo.

[Marcos Castillo]

¡Entendido!. Gracias, un saludo.