[Fallen Angel]

Los conceptos intuitivos son muy útiles, si, pero no creo que sean imprescindibles, aunque esta cuestión me parece más filosófica que matemática en realidad.

En cuanto a la forma de aprender matemáticas, prácticamente lo más importante desde mi punto de vista es la organización, ir leyendo apuntes/libros/curso/lo que sea de forma que vayas construyendo desde la base. (Y yo empezaría por teoría de conjuntos)

En cuanto a los conjuntos, formalmente puedes echarle un vistazo a los axiomas de Zermelo-Fraenckel, e intuitivamente un conjunto puedes pensar que es casi cualquier cosa, el conjunto de mesas de 4 patas, el conjunto de perros labradores, etc...

No sé realmente como explicarte muy bien la sencillez y utilidad del concepto de conjunto.

Un saludo!

[Carlos Ivorra]

Es mi fallo, mi problema, el no poder entenderte, y ese problema es el que quiero corregir, pero no sé cómo.

Toma un libro de lo que quieras (de los que no entiendes), con la condición de que puedas estar seguro de que no es un problema de no tener la base matemática necesaria (no cojas un libro de variable compleja si no sabes análisis real), empieza a leerlo desde el principio y pregunta lo que no entiendas. Pero es fundamental que no des por entendido un enunciado sólo porque te hagas una idea clara de lo que quiere decir aunque no entiendas realmente las palabras con que lo dice. Lo fundamental es que sólo des algo por claro, no sólo cuando tengas clara la idea, sino cuando tengas claro por qué la forma en que está escrita es la forma de escribirlo.

Pero, claro, no intentes leer un libro sobre formas diferenciales si dices no tener claro el concepto de producto cartesiano. Elige un libro que consideres que no entiendes por el lenguaje, pero no por las ideas o la base necesaria. Incluso podrías coger un libro sobre algo que domines, como el análisis de una variable, pero "bien" escrito, y a ver qué no entiendes de los enunciados.

[Piockñec]

¡¡Qué buena idea, Carlos!! No se me había ocurrido. Haré eso Ya me veréis posteando preguntas de cosas sencillas expresadas difícil jajaja a ver qué tal sale el experimento!!!

Los conceptos intuitivos son muy útiles, si, pero no creo que sean imprescindibles, aunque esta cuestión me parece más filosófica que matemática en realidad.

En cuanto a la forma de aprender matemáticas, prácticamente lo más importante desde mi punto de vista es la organización, ir leyendo apuntes/libros/curso/lo que sea de forma que vayas construyendo desde la base. (Y yo empezaría por teoría de conjuntos)

En cuanto a los conjuntos, formalmente puedes echarle un vistazo a los axiomas de Zermelo-Fraenckel, e intuitivamente un conjunto puedes pensar que es casi cualquier cosa, el conjunto de mesas de 4 patas, el conjunto de perros labradores, etc...

No sé realmente como explicarte muy bien la sencillez y utilidad del concepto de conjunto.

Un saludo!

Sobre lo primero, mi pregunta iba encaminada a saber si crees que era posible (desde tu experiencia) comprender conceptos abstractos tipo función (pero no eso, sino algo ulterior que tú hayas aprendido, como por ejemplo forma diferencial) sin haber recurrido a cosas concretas o ejemplos. Pero creo que aunque tu respuesta puede que sea no (o sí, no sé), tal vez en general sí sea posible. Probaré. Así que como si no hubiera preguntado nada

Y sobre los conjuntos, conforme escribía mis últimas dos postdatas, me di cuenta de que el conjunto dominio podía ser, realmente, cualquier cosa. Hasta un donut, de los comestibles, casi. Ahí fue cuando le he visto la potencia al concepto de conjunto, vago, pero poderoso. Me han dado ganas de repente de aprender los aburridos conjuntos, buscaré un libro, y trataré de aprenderlos como se debe Aprovecharé que Carlos ha escrito libros y él está disponible por el foro (Y por supuesto, que Carlos se expresa tan bien e inentendiblemente para mí como el resto de matemáticos ).

Carlos, he visto que tienes uno de lógica, y otro de conjuntos, pero que basas el de conjuntos en el de lógica. La verdad es que la lógica siempre ha sido un misterio y algo fascinante para mí. Voy a intentar leerlos poco a poco, uno detrás del otro.

¡Hay qué ver! Busco un libro para ir hacia delante, a aprender sobre formas diferenciales, y me corregís el rumbo 180º para que me dirija hacia la misma base de las matemáticas Confío en que me suceda como Descartes, que hizo eso, y...

Tan extremado contento había sentido ya desde que empecé a servirme de ese método, que no creía que pudiera recibirse otro más suave e inocente en esta vida; y descubriendo cada día, con su ayuda, algunas verdades que me parecían bastante importantes y generalmente ignoradas de los otros hombres, la satisfacción que experimentaba llenaba tan cumplidamente mi espíritu, que todo lo restante me era indiferente.

.

¡Buenas noches a los dos, y mil gracias por vuestras opiniones y ayuda! Y a Juan Pablo, que el pobre inocentemente me recomendó un libro (que almaceno celosamente a la espera de estar capacitado para entenderlo ), y se ha tenido que tragar esta conversación cada vez que se metía en el foro

[Juan Pablo Sancho]

Para nada un lujo poder leer lo que poneis y estar en estas conversaciones.

Cuando comes un bocata de pernil no tragas degustas. 

[feriva]

Hola,  Piockñec, te cuento una anécdota al hilo de esto esto que dices

el mismo concepto de límite con el epsilon delta no lo entiendo

 En una de las tutorías de análisis, en la UNED (durante el poco tiempo que estuve) el profesor confesó honradamente ante los tres o cuatro alumnos que estábamos en clase (iba muy poca gente a las tutorías) que él no entendía bien el concepto de límite. Al acabar la clase le acompañé y le dije que, precisamente, había estado pensando en esa definición. Total, que le expliqué y él me escuchó atentamente (yo era unos cuantos años mayor que él, si no, no sé si me hubiera escuchado, quizá lo hizo por respeto a la edad pero pensando que le iba a decir una chorrada).

 Lo que le conté ya lo dije por ahí en un hilo hace unos años cuando alguien planteó esta cuestión.

 Bueno, antes de esta conversación con el profesor, el día anterior a la tutoría, estudiando el tema, yo había estado investigando con la calculadora dando valores a esta fórmula del número “e”

\( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \)

Primero n=1, después n=2... así hasta muchos valores (no siempre todos seguidos, saltando de vez en cuando a un número de una cifra más para ver qué pasaba “más lejos” sin tener que eternizarme).

 Ahora lo he vuelto hacer pero esta vez con el ordenador, pongo en un spoiler los resultados de “n=1” hasta “n=499”.

Spoiler

2.0
2.25
2.37037037037
2.44140625
2.48832
2.52162637174
2.54649969704
2.56578451395
2.58117479171
2.5937424601
2.6041990119
2.61303529022
2.62060088789
2.6271515563
2.63287871773
2.63792849737
2.64241437518
2.6464258211
2.65003432664
2.65329770514
2.65626321393
2.65896985854
2.66145011864
2.66373125807
2.66583633149
2.66778496653
2.66959397781
2.67127785344
2.67284914398
2.67431877587
2.67569630591
2.67699012938
2.67820765125
2.6793554281
2.68043928615
2.6814644203
2.68243547731
2.68335662627
2.68423161847
2.68506383839
2.68585634754
2.68661192203
2.68733308512
2.68802213531
2.68868117088
2.68931211119
2.68991671535
2.69049659863
2.69105324684
2.69158802907
2.69210220892
2.69259695444
2.69307334705
2.69353238938
2.69397501235
2.69440208143
2.69481440232
2.69521272603
2.69559775342
2.69597013933
2.69633049628
2.69667939787
2.69701738178
2.69734495257
2.69766258417
2.6979707222
2.69826978602
2.69856017064
2.69884224849
2.69911637098
2.69938286997
2.69964205913
2.69989423514
2.70013967885
2.7003786563
2.70061141971
2.70083820834
2.70105924932
2.70127475843
2.70148494075
2.70168999138
2.70189009599
2.7020854314
2.70227616611
2.70246246075
2.7026444686
2.70282233592
2.70299620243
2.7031662016
2.70333246106
2.70349510286
2.7036542438
2.70380999572
2.70396246574
2.7041117565
2.70425796642
2.70440118989
2.70454151749
2.70467903616
2.70481382942
2.70494597749
2.70507555746
2.7052026435
2.7053273069
2.70544961628
2.70556963771
2.70568743479
2.70580306877
2.70591659871
2.7060280815
2.70613757204
2.70624512324
2.70635078618
2.70645461016
2.70655664277
2.70665692998
2.70675551619
2.70685244431
2.70694775584
2.70704149086
2.70713368819
2.70722438534
2.70731361865
2.70740142326
2.70748783321
2.70757288147
2.70765659999
2.70773901969
2.70782017057
2.70790008172
2.70797878132
2.70805629671
2.70813265443
2.70820788023
2.70828199907
2.70835503523
2.70842701224
2.70849795299
2.70856787968
2.70863681392
2.70870477668
2.70877178835
2.70883786876
2.70890303719
2.70896731238
2.70903071258
2.70909325554
2.70915495852
2.70921583833
2.70927591133
2.70933519347
2.70939370025
2.70945144679
2.7095084478
2.70956471764
2.70962027029
2.70967511936
2.70972927814
2.70978275958
2.70983557631
2.70988774064
2.70993926459
2.70999015987
2.71004043793
2.71009010993
2.71013918674
2.71018767902
2.71023559715
2.71028295125
2.71032975122
2.71037600675
2.71042172727
2.71046692202
2.7105116
2.71055577004
2.71059944075
2.71064262054
2.71068531765
2.71072754013
2.71076929584
2.71081059249
2.7108514376
2.71089183854
2.71093180251
2.71097133657
2.71101044762
2.71104914241
2.71108742754
2.7111253095
2.71116279461
2.71119988908
2.71123659899
2.71127293028
2.71130888878
2.7113444802
2.71137971013
2.71141458405
2.71144910734
2.71148328524
2.71151712293
2.71155062545
2.71158379776
2.71161664472
2.71164917108
2.71168138153
2.71171328064
2.71174487291
2.71177616273
2.71180715444
2.71183785227
2.71186826039
2.71189838287
2.71192822372
2.71195778687
2.71198707618
2.71201609545
2.71204484837
2.71207333862
2.71210156976
2.71212954532
2.71215726875
2.71218474345
2.71221197275
2.71223895992
2.71226570818
2.71229222068
2.71231850053
2.71234455077
2.71237037442
2.71239597439
2.7124213536
2.71244651489
2.71247146104
2.71249619481
2.7125207189
2.71254503596
2.7125691486
2.71259305939
2.71261677086
2.71264028548
2.7126636057
2.71268673392
2.71270967249
2.71273242375
2.71275498998
2.71277737342
2.71279957629
2.71282160076
2.71284344898
2.71286512305
2.71288662505
2.71290795701
2.71292912095
2.71295011885
2.71297095264
2.71299162425
2.71301213557
2.71303248844
2.71305268471
2.71307272616
2.71309261457
2.7131123517
2.71313193925
2.71315137893
2.7131706724
2.7131898213
2.71320882725
2.71322769186
2.71324641668
2.71326500327
2.71328345315
2.71330176782
2.71331994877
2.71333799746
2.71335591531
2.71337370376
2.7133913642
2.713408898
2.71342630651
2.71344359109
2.71346075305
2.71347779369
2.71349471428
2.7135115161
2.71352820039
2.71354476838
2.71356122128
2.71357756028
2.71359378657
2.71360990131
2.71362590564
2.7136418007
2.71365758759
2.71367326743
2.71368884129
2.71370431024
2.71371967535
2.71373493765
2.71375009818
2.71376515794
2.71378011794
2.71379497917
2.7138097426
2.7138244092
2.71383897991
2.71385345567
2.7138678374
2.71388212603
2.71389632244
2.71391042754
2.71392444219
2.71393836727
2.71395220363
2.71396595212
2.71397961357
2.7139931888
2.71400667863
2.71402008387
2.7140334053
2.71404664371
2.71405979987
2.71407287455
2.7140858685
2.71409878246
2.71411161718
2.71412437338
2.71413705178
2.71414965308
2.714162178
2.71417462721
2.71418700141
2.71419930128
2.71421152747
2.71422368065
2.71423576148
2.71424777059
2.71425970862
2.71427157621
2.71428337397
2.71429510251
2.71430676245
2.71431835439
2.71432987892
2.71434133662
2.71435272807
2.71436405385
2.71437531453
2.71438651066
2.7143976428
2.71440871149
2.71441971727
2.71443066068
2.71444154226
2.71445236251
2.71446312196
2.71447382112
2.7144844605
2.71449504059
2.71450556188
2.71451602487
2.71452643005
2.71453677788
2.71454706884
2.7145573034
2.71456748202
2.71457760516
2.71458767327
2.7145976868
2.71460764618
2.71461755187
2.71462740429
2.71463720387
2.71464695103
2.7146566462
2.71466628978
2.71467588219
2.71468542384
2.71469491513
2.71470435645
2.7147137482
2.71472309076
2.71473238453
2.71474162989
2.7147508272
2.71475997686
2.71476907921
2.71477813464
2.7147871435
2.71479610615
2.71480502294
2.71481389423
2.71482272037
2.71483150169
2.71484023854
2.71484893126
2.71485758018
2.71486618562
2.71487474792
2.7148832674
2.71489174438
2.71490017918
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2.7149252336
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2.71499026553
2.71499821777
2.71500613168
2.71501400753
2.7150218456
2.71502964616
2.71503740948
2.71504513582
2.71505282546
2.71506047864
2.71506809562
2.71507567667
2.71508322204
2.71509073198
2.71509820674
2.71510564656
2.71511305169
2.71512042237
2.71512775884
2.71513506133
2.7151423301
2.71514956536
2.71515676734
2.71516393629
2.71517107241
2.71517817595
2.71518524712
2.71519228614
2.71519929323
2.71520626861
2.71521321249
2.71522012509
2.71522700661
2.71523385727
2.71524067727
2.71524746682
2.71525422612
2.71526095538
2.71526765478
2.71527432454
2.71528096485
2.71528757589
2.71529415788
2.71530071099
2.71530723541
2.71531373134
2.71532019896
2.71532663845
2.71533305
2.71533943379
2.71534579
2.71535211881
2.71535842039
2.71536469493
2.71537094258
2.71537716353
2.71538335795
2.71538952601
2.71539566786
2.71540178369
2.71540787366
2.71541393792
2.71541997665
2.71542598999
2.71543197812
2.7154379412
2.71544387937
2.71544979279
2.71545568162
2.71546154601
2.71546738611
2.71547320208
2.71547899406
2.7154847622
2.71549050664
2.71549622754
2.71550192504
2.71550759928
2.7155132504
2.71551887855
2.71552448386
2.71553006647
2.71553562653
2.71554116415
2.7155466795
2.71555217268
2.71555764385
2.71556309313

[cerrar]

La primera cifra es 2 desde el principio. La segunda cifra primero es cero, después 2, después 3, 4... luego aparecen varios cincos, luego muchos seises... y así va creciendo. En cambio, la tercera cifra parece que se mueve más azarosamente, crece y decrece un poco a lo loco. Pero esto ocurre hasta que se fija la segunda cifra en 7 (ya no va a cambiar para valores mayores de “n” sean cuales sean, lo cual se puede estimar dando a “n” unos cuantos valores muy grandes) en ese momento la tercera cifra empieza a ser cero, cero, cero... y luego es uno, donde se fija, no pasa de ahí. Después se irán fijando los valores de las siguientes cifras.   

 Es decir, funciona como una máquina tragaperras, de ésas en donde primero se para la ventana en las naranjas, por ejemplo, después en los limones, vamos a poner, y después  en las cerezas (aunque aquí hay infinitas ventanas y no pueden fijarse todas en una cifra concreta, las “últimas” no quedarán definidas nunca).

 Esto es lo que observé entonces. Naturalmente yo sabía dónde se tenían que fijar las primeras cifras porque tenía el número “e” en el libro y el cálculo del límite; si no, no hubiera podido estar seguro de esto, porque no se puede llegar a infinito con la calculadora, obviamente.

 Después empecé a hallar las diferencias entre los valores consecutivos obtenidos observando que estas diferencias eran cada vez menores e iban tendiendo a cero cada vez más según aba valores a “n”; porque estaba investigar ni más ni menos quién era quién aquí:

 \( a_n \to L \Leftrightarrow</math> <math>\forall\varepsilon>0, \exists N>0 : \forall n > N, |a_n – L|<\varepsilon \)

Como estudiante a distancia no podía preguntar mucho, tenía una tutoría de pascuas a ramos —además no había internet todavía para consultar en foros— y eso te obligaba a investigar para intentar entender las cosas porque el tiempo apremiaba según se acercaban los exámenes. 

Y el siguiente paso fue darme cuenta enseguida de que \( a_n \) y \( L \) no eran consecutivos, podían estar a toda la distancia que fuera. Sin embargo, la diferencia tenía que ser siempre tan pequeña como se quisiera para que fuera menor que cualquier épsilon elegido. Y  probé con resultados separados, resultados muy “avanzados”, tomando unas “enes” grandes para hallarlos.

 Y, efectivamente, cuanto más te vas hacia adelante, hacia la derecha, digamos, si tomas dos resultados separados por unos cuantos números, la diferencia es cada vez más pequeña y va tendiendo a cero, de donde se ve que, como eso no acaba, lo que dice la expresión es cierto: por muy pequeño elijamos el valor de épsilon, siempre encontraremos un N (que en mi libro se llamaba “n” sub cero, y que no es un número fijo sino que depende del épsilon que elijamos) a partir del cual la diferencia entre cualquiera de los números de “más hacia delante” sea menor que el épsilon elegido; por qué, porque son todos números muy parecidos, todas sus cifras son iguales excepto las “últimas”, sólo varían en cifras que están allá por el infinito, muy a la izquierda; luego la resta, en valor absoluto, nos dará 0,000...
 Si te fijas en la lista del spoiler los no sé cuántos últimos números todos empiezan así 2,175, y si restas cualquiera de ellos por lo menos tendrán cuatro ceros delante; para un “n” más grande se fijarán más cifras y ya serán invariantes para cualquier “n” que introduzcamos en la fórmula, y la diferencia tendrá más ceros delante; así que, como esto no acaba, puedes tener tantos ceros delante como quieras eligiendo un “n” tan grande como necesites para “ganar” en pequeñez al épsilon que hayas elegido.

Qué pasaría si las cifras no se fijaran en un valor, o sea, por ejemplo, si después de estar apareciendo casi infinitamente el 7 en la segunda cifra, de repente, apareciera un 8, por ejemplo; pues que esa expresión del límite resultaría falsa para el valor 2,7... Quizá podría fijarse en 8, y sería un límite; o podría variar, de vez en cuando por ahí, sin terminar de variar en ninguna ocasión, y en ese caso no sería un límite, porque no se cumpliría en generla lo que dice el formalismo.   

 Una vez entendido con épsilon se entiende con el delta, porque es lo mismo pero en dos dimensiones, digamos.

 No sé si es buena o mala la forma de explicarlo; pero te doy mi palabra de que José Luis (así se llamaba el profe) en la siguiente tutoría a aquélla que digo explicó el límite como yo se lo expliqué a él, o sea, de esta misma manera. 

 Y en cuanto a lo otro que preguntas sobre diferenciales, no tengo ni idea, porque sé muchas menos matemáticas que tú

[Carlos Ivorra]

Carlos, he visto que tienes uno de lógica, y otro de conjuntos, pero que basas el de conjuntos en el de lógica. La verdad es que la lógica siempre ha sido un misterio y algo fascinante para mí. Voy a intentar leerlos poco a poco, uno detrás del otro.

Hombre, no me parece un buen punto de partida. Son libros bastante técnicos, y no es necesario entender el teorema de incompletitud de Gödel para entender lo que es el producto cartesiano. Sería dar un rodeo enorme para llegar a donde quieres llegar.

Serìa mejor que eligieras un libro de algo que conozcas bien. Si quieres uno de los míos, podrías coger el de análisis, pero te vas a encontrar desde el principio la topología general. Por eso, tal vez serìa más apropiado que buscaras alguno que empiece de más abajo, con funciones de una variable.

[Piockñec]

Muchas gracias por la anécdota, feriva Está más que curiosa!

Siguiendo la idea que dices, he probado a demostrar que el límite cuando x^2 tiende a 2 es 4. Al hacerlo, vi que era igual de fácil hacerlo con un número cualquiera, y he puesto un hilo con la demostración (supuesta demostración ). He probado a hacer lo mismo con la exponencial y no me ha salido, lo cual es un buen presagio e indica que lo que he hecho, al menos, no es una tautología jajaja Creo que ya entiendo el concepto de límite con el épsilon delta Tengo que practicar para afianzármelo!!! ¡Muchas gracias!

Vale, entonces buscaré un libro conjuntista pero de cálculo de una variable, a ver qué encuentro por la web ¡Gracias!

[feriva]

Muchas gracias por la anécdota, feriva Está más que curiosa!

Siguiendo la idea que dices, he probado a demostrar que el límite cuando x^2 tiende a 2 es 4. Al hacerlo, vi que era igual de fácil hacerlo con un número cualquiera, y he puesto un hilo con la demostración (supuesta demostración ). He probado a hacer lo mismo con la exponencial y no me ha salido, lo cual es un buen presagio e indica que lo que he hecho, al menos, no es una tautología jajaja Creo que ya entiendo el concepto de límite con el épsilon delta Tengo que practicar para afianzármelo!!! ¡Muchas gracias!

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Gracias a ti por prestarme atención.
La anécdota cierta y es así como te la he contado, pero eso no quiere decir que no se pueda poner alguna pega o no se le pueda poner alguna apostilla a lo que digo; el que ese profesor explicara lo de los números que se fijan, con mi idea, no quiere decir nada, porque ya ves la cantidad de discusiones a las que llevan los aspectos teóricos cuando se trata del infinito; a mí, en general, nunca me hagas caso del todo caso

 Pero una cosa sí es muy clara y no hay duda en ella, cuando algo tiende a un límite, tiende a un número, y no puede tender a dos, a tres o a infinitos números distintos a la vez, porque entonces no tiende a un límite, obviamente. Luego lo que quiere decir es que aunque estuviéramos dándole valores toda la vida a la variable independiente (que es a lo más que llega mi cabeza a la hora de entender la idea de infinito, estar dando valores sin parar) habrá una serie de cifras, las “primeras”, que adquirirán un valor y, si tiene límite la función que sea, ya no podrán cambiar esos valores; si al menos una de ellas puede cambiar infinitas veces, es decir, no se queda fija nunca, pues entonces no tiende a un límite, es evidente, porque tiende a varios números a la vez o a una especie de número difuso que no se queda quieto en al menos una de las cifras que ocupa un lugar finito; y en las infinitas también, pero ahí ya es una idea que el intelecto humano no puede comprender, simplemente hay que aceptarlo como una definición asumiendo el concepto de infinito actual, de infinito terminado. Y creo que ésa viene a ser la idea.

Saludos.