[Piockñec]

Por favor, ¿podrían recomendarme un libro que exprese de manera clara qué son las formas diferenciales, y toda la teoría que les concierne?

Me encantaría poder comprender qué son, y sobre todo poder trabajar y operar con ellas. Necesitaría un libro que no use mucho palabras como "difemorfo, isomorfo, homeomorfo, n-morfo, morfo,...", ni tampoco "conjunto cociente, conjunto de Borel, conjunto \( H^{L-P}_{\omega_n} \),...", sino que vaya al grano con funciones y derivadas.

¡¡¡Muchísimas gracias!!!

Spoiler

Es que, si no, y os puedo jurar que llevo 3 años intentando leer textos con esas palabrejas de por medio, es que si no, no lo entiendo. Pero nada, en absoluto. Una tarde entera me llevó extraer de un libro el concepto de contracción, y cuando me di cuenta del concepto tan simple que era, de lo fácil que era comunicarlo, y lo que me costó leerlo, tiré el libro. Y eso que no era un libro, sino unos apuntes, que se supone que deben ser más claros (con libros también lo he intentado, y los resultados son similares). Tengo mucha imaginación, capto, generalizo, y aplico los conceptos con facilidad. Pero soy muy malo con los idiomas, y el de los formalistas es el más intrincado con el que me he topado para expresar conceptos sencillos. Y ya lo doy por perdido aprender a leerlo con soltura.

[cerrar]

[Juan Pablo Sancho]

No estoy muy seguro si te puede servir:

Fundamentos del análisis matemático 3.

Autores:
V.LLín.
E.Pozniak

Editorial Mir.

[Fallen Angel]

Hola!

Si quieres una explicación de la teoría detrás del estudio de las formas diferenciales necesariamente te vas a topar con difeomorfismos, grupos de Lie, espacios duales y demás, porque es la forma de llegar a comprenderlas y poder hacer demostraciones al respecto.
Si sólo habla de funciones y derivadas en el sentido convencional no vas a llegar muy lejos.

Si no comprendes los pasos previos creo que es mejor que te centres en ellos antes de saltar a las formas diferenciales.
Una vez un profesor me dijo, y comparto completamente: "Las matemáticas son así de difíciles, porque no pueden ser más fáciles".


Esto es sólo mi opinón, puedes tenerla en cuenta o no, pero me parece la forma más razonable de verlo.

Un saludo!

[Piockñec]

Muchas gracias a los dos Miraré ese libro a ver qué tal!

Fallen angel, yo comparto la opinión de tu profesor, y muchas gracias por darme la tuya. Pero mi problema no es que no quiera enfrentarme con los difeomorfismos, grupos de Lie, espacios duales y demás, al contrario, me encantaría poder saber a qué se refieren esas palabras para no tener que preocuparme por ellas nunca más!!! Mi problema está en la gramática y caligrafía matemática: Os expresáis más raro!!

Teorema: Proposición: Lema: Corolario: A\( A\cup{\cap{B}}\Longleftrightarrow{\partial \omega} \) para todo p-manifold en una terna p-q-hilbert

hahaha pero más raro!!!!!! y no es porque los conceptos sean dificilísimos y no se puedan expresar con más claridad que eso, porque eso sí que lo tengo comprobado, los conceptos, en muchas ocasiones, está chupados, son sencillísimos. Mi problema está en el lenguaje que usan. Y no sé cómo solucionarlo, porque por más tiempo que le dedico a descifrar, siempre me saltan con palabrejas, aplicaciones y conjuntos. No reside mi dificultad en aprehender el contenido, sino en interpretar la forma en la que me los presentan, el lenguaje.

[Fallen Angel]

Sé que puede costar, especialmente al principio leer un texto matemático, pero si lo piensas es realmente una gran ventaja tener un lenguaje estándar unificado.
Además si no podemos usar palabras matemáticas todo sería pesadísimo.Un ejemplo,

Versión 1
Sea \( M\subset A \) una variedad...

Versión 2
Sea \( M\subset A \) un conjunto tal que para cada punto en \( M \) existe un entorno suyo homeomorfo a \( \mathbb{R}^{n} \) para un cierto \( n \)...

Versión 3
Sea \( M \) contenido en \( A \) un conjunto tal que para cada elemento en el conjunto \( M \) existe un subconjunto \( U \) contenido en \( A \) \( \color{red}conteniendo \ a \ dicho \ elemento, \color{black} \) abierto de tal forma que existe una aplicación \( f:U\longrightarrow \mathbb{R}^{n} \) continua, biyectiva y de inversa continua para algún número natural \( n \)...

Y puedes seguir poniendo definiciones de abierto, biyectividad, aplicación, inversa, continuidad que también son 'palabras matemáticas'.

La clave está en que se utiliza la versión 1 y se supone que el lector sabe lo que quiere decir, porque ya lo ha estudiado antes.

Un saludo!

PD:Podrías haber incluido una cita real con sentido, para ver de forma más clara qué dificultades tienes.

\(  \color{red}EDITO:\ HABÍA\ UNA\ ERRATA \)

[Piockñec]

jajajaja tienes toda la razón del mundo en tu P.D., Fallen Angel

Mi problema, por ejemplo, es que no entiendo ni una de las tres versiones. La razón no está en que no entienda cada palabreja por separado, que la mayoría las entiendo, sino que no les doy sentido. Y si no les doy sentido por separado, imagínate en conjunto en una definición de variedad.

Por ejemplo, en la versión 2: Variedad es un conjunto contenido en A (esta última propiedad es un sinsentido, es decir, ¿qué más da que esté contenido en A? Esto ya empieza a liarme) tal que el entorno de cada punto (en sus alrededores más cercanos tomando límite) tiene una propiedad (que es homeomorfo a R^n, siendo esto último lo que no entiendo. Tendría que buscar la definición del concepto). Pero esta definición, y la 1ª, si es que variedad significa Versión 2, son muy entendibles por mí. La 3ª, en cambio, no le veo relación alguna con la segunda:

Sea M contenido en A un conjunto (o sea, un intervalo de números, vectores...) tal que (ahora viene una propiedad de ese intervalo) para cada elemento de M (cada numerito o vector de ese espacio M) existe un subconjunto abierto U de A (otro intervalo al estilo de M, pero que no tiene por qué ser el mismo, y que además es abierto, M no tenía por qué serlo), de tal forma que (ahora viene una propiedad de ese intervalo U) existe una aplicación (o sea, una función) continua, biyectiva y de inversa continua hacia R^n (una función bonita tipo \( y=x \), pero con vectores en \( R^n \)).

Resumen de la versión 3: Por cada numerito/vector del intervalo M, hay otro intervalo U que puede tener una función continua, biyectiva y tal. Y M es una variedad por eso. Y yo me pregunto: ¿Acaso no puedo yo inventarme un intervalo así por cada elemento de un conjunto M? Y suponiendo que tengo respuesta a eso: ¿Qué importa?

Es decir, como ves a mí me cuesta mucho descifrar eso que has puesto. Y eso que estaba claro, te felicito, de verdad que estaba claro, porque en los libros se lían a meter signos y palabras farragosas.
Y una vez que lo leo me digo... ¿y qué? Pero es que el libro después no me dice "y qué". Me dice después otra definición, no contento con la que me dio. Y de nuevo, ¿y qué? Y luego me mete un teorema, un hecho que satisface esa especie de conjunto M que cumple esto, eso, y aquello. Y cuando estoy harto ya de descifrar teoremas y definiciones, y no le veo sentido a nada de lo que he leído en todo el capítulo, y resulta que el capítulo se llama: Análisis funcional ó Cálculo de variaciones ó cálculo vectorial ó cálculo diferencial ó geometría diferencial (pues los dichosos conjuntos están en todas partes, y todos parecen iguales), pues me crispo, y grito: ¿Dónde están las funciones, los números, los vectores, los tensores, las superficies, las curvas, las integrales, las derivadas...?

Una cosa que iba a borrar, pero es que es mi opinión hahaha

Me da igual que trabajen sobre R, en C, en R^2, o en R^n. Me da igual que trabajen con f(x), f(x,y,z), o f(x_n). Que generalicen lo que quieran, pero por favor, que hablen sobre el tema, y no se pongan a trabajar con conjuntos. Y si crees que es mejor hablar sólo de conjuntos para entender todas estas cosas como conjuntos... pfff cómo empezaste? ¿qué tengo que hacer? ¿dónde tengo que firmar para poder entender las cosas como tú? hahaha es que me encantaría poder entenderlo tan fluido como yo entiendo las cosas cuando me hablan en término de funciones. Es que ya empiezo mi cuarto año de ingeniería, pero no creo que tenga "falta de bases" (que también, no?) sino un problema de idiomas. Me huelo que describir todo con conjuntos es una manía que viene de Hilbert, y se ha generalizado a todos los matemáticos. ¿Se puede hacer eso, explicar cualquier concepto por medio de conjuntos? Por supuesto, no seré yo quien tan siquiera lo dude. Pero... y sin embargo ... en fin, aquí me tienes, que no me entero del concepto más simple, aunque ya lo tenga interiorizado previamente el mismo concepto de límite con el epsilon delta no lo entiendo, y mira que entiendo bien el concepto de límite, puedes fiarte de mí de que lo entiendo. Pero jamás he podido demostrar, jamás, que el límite de \( y=x^2 \) cuando x tiende a 2 es 4. Es que es tan... irrelevante demostrarlo... cuando es tan obvio... estuvimos en la cafetería dos amigos y yo, que los tres sacamos muy buenas notas, tratando de demostrarlo, y era imposible. Y era el ejercicio 1 de un libro del capítulo de introducción hahaha mortal...

[cerrar]

P.D.: He visto esto, http://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismo, y el concepto está clarividente con el ejemplo de la taza y el donut. De hecho, yo he usado muchas veces este concepto para determinar si puedo aplicar el teorema de la divergencia o no al integrar, aunque nadie me lo haya dicho, para buscar agujeros evitables y ese estilo de cosas que los matemáticos llaman simplemente conexo. Y sin embargo, jamás le había dotado de la palabra homeomorfismo. Pero el problema está en que si uno lee la definición que ahí sale de homeomorfismo, ¿dónde está la taza y el donut? No se ve, no se desprende de ahí. O al menos, yo no veo que se desprenda de ahí.

[Fallen Angel]

Hagamos como Jack el destripador, vamos por partes.

Las tres versiones dicen lo mismo, pero sustituyo 'palabras matemáticas' por su definición. Variedad es manifold en castellano.

Lo del conjunto \( A \) no lo he especificado por no poner demasiadas cosas, pero para dar una definición de variedad necesitas un espacio topológico ambiente, al que en este caso he llamado \( A \).

Entender la primera versión significa que cuando lo lees sabes que estoy diciendo lo que pone en la tercera, incluso más, una aplicación es continua si las contraimágenes de abiertos son abiertos, etc...

Cuando hablo de conjuntos, lo hago para tratar de generalizar lo más posible, un problema recurrente es que siempre se tiende a pensar en los ejemplos más sencillos y se olvida el resto, por ejemplo, seguro que cuando te hablaron de espacios vectoriales te pusieron como ejemplos \( \mathbb{R} \) como \( \mathbb{Q} \)-espacio vectorial o \( \mathbb{R}^{n} \) como \( \mathbb{R} \)-espacio vectorial. Sin embargo, dudo que te pusieran como ejemplo las funciones continuas en el intervalo [0,1], que es un ejemplo igualmente válido.

Por tanto no hablo de intervalos, vectores ni nada, en un espacio topológico no tiene por qué haber intervalos ni vectores, ni siquiera tiene por qué haber una métrica en un espacio topológico.

A tu resumen de la versión 3, pues sí, importa, puesto que es la definición de variedad topológica, y no, no siempre puedes tomar entornos de tal modo (si se pudiese, entonces la definición no tendría sentido).

Fíjate que eso que he puesto no es ni media linea para comenzar un capítulo de un libro, por ejemplo, cuando te metes en harina de verdad es normal que vayas utilizando simbología.

En cuanto a dónde están las funciones, números y demás, son sólo ejemplos, en matemáticas son importantes para comprender los conceptos, pero su importancia no pasa de ahí, es decir, para un matemático es más importante saber que el determinante es la unidad de volumen en \( \mathbb{R}^{3} \) que saber la fórmula del volumen de un cubo,por ilustrarlo de algún modo.

Respecto al spoiler no entiendo cuál es tu problema con los conjuntos, pero hagamos un ejercicio, (sin mirar el siguiente spoiler), trata de definir el concepto de función.

Definición de función

Dados dos conjuntos \( A,B \) se llama función de \( A \) en \( B \) y se denota \( f:A\longrightarrow B \) a cualquier subconjunto \( C\subset A\times B \) del producto cartesiano de \(  A \) y \( B \) que cumpla:
\( \\
\item \mbox{Para todo}\ a\in A, \ \mbox{existe un \'unico}\ b\in B \ \mbox{con}\ (a,b)\in C

 \)

[cerrar]

Más que un problema de falta de bases, probablemente sea un problema de cómo se explican las cosas en según que institutos y universidades, normalmente en una ingeniería (me refiero a que es lo que me suelo encontrar yo personalmente) tratan de dar resultados relativamente avanzados sin dar conceptos previos, por lo tanto tampoco hacen las demostraciones por falta de conceptos y saltan de un lado para otro sin mostrar las conexiones que hay (las matemáticas no se dividen en cajitas, otra cosa es que cada uno se especializa en lo que más le gusta) lo cuál hace que la mayoría de alumnos que pasan por una educación así tengan un concepto de las matemáticas, cuando menos, difuso y digan "La clase de matemáticas es estúpida y aburrida", y no les falta razón.

El problema de lo obvio es que no tiene por qué ser cierto. Si yo te digo que escribas el número que sigue aquí:

2, 4, 6, 8, 10,...

Seguramente tu respuesta será 12, porque es obvio, pero ¿Qué pensarías si yo te digo que el siguiente es 15679?

En cuanto a la post-data, para buscar agujeros y demás, como tú dices, es calcular el grupo fundamental de un espacio topológico, puesto que un espacio topológico se dice simplemente conexo (condición necesaria para aplicar el teorema de la divergencia) si es conexo por caminos (dados dos puntos del espacio existe un camino que los une) y su grupo fundamental es trivial (esto no lo explico aquí por no enrollarme más que ya voy bastante).
El hecho de que puedas utilizar homeomorfismos para ver cuándo puedes aplicar este teorema se apoya en que alguien demostró previamente que dos espacios homeomorfos tienen el mismo grupo fundamental (pero no al revés), lo cual no es evidente de primeras.

Por último, y ya con esto dejo de aburrirte, lo de la tza y el donut, vuelve a ser el problema de antes, los ejemplos son casi irrelevantes.

Espero no haberte liado más.

Un saludo!

[Piockñec]

Liarme no, al contrario fallen angel, lo que escribes es muy enriquecedor para mí

Sobre entes abstractos tipo variedad/espacio vectorial

Cuando me hablaron de espacios vectoriales, nadie de ninguna clase, te lo puedo asegurar, entendió qué era. No es que nos pusieran de ejemplo R^n, es que no había ejemplo. La profesora nos hablaba de homeomorfismos, morfismos, anillos, relaciones, y demás, desde el primer día. Imagínate: Primer día de facultad, y así nos tratan. Naturalmente, nadie sabía de qué hablaba, y si tratabas de preguntarle, te respondía con anilladas, morfadas, y homeomorfadas, sin ejemplo alguno. Sé que es importante no quedarse en los ejemplos, y por eso tratáis de no pensar en ejemplos. Naturalmente, cuando pienso en el blanco, no necesito de nada blanco. Igual cuando pienso en una función diferenciable, o un campo vectorial..., no necesito pensar en nada concreto, y si lo necesito, puedo hacerlo.

Y después de 3 años, por fin, creo entender un poco a qué se refieren con espacios vectoriales. Para que te hagas una idea, un profesor dijo de repente en clase, "las soluciones de una ecuación diferencial lineal forman un espacio vectorial, porque tiene el 0, combinaciones lineales son también solución, una base...". Pues bien, cuando pronunció esto, puedes figurarte la cara de todos: Blanca. Todos con la cara blanca. De desconcierto y de... ¿de verdad es esto un espacio vectorial? Acto seguido me lo planteé seriamente y era verdad. Era un espacio vectorial. Y podía atribuirle todas las características que "estudié" (estudié para olvidar, total, no tenían ningún sentido). (Pero cuando ya entendí el concepto, gracias a 2 ejemplos (vectores y ecuaciones diferenciales lineales), ya sí que tenía sentido para mí, y estaba ávido por entender mejor y saber más sobre espacios vectoriales). Esto me sucedió hace unos pocos meses. Y empecé a relacionar conceptos, los apliqué a ecuaciones diferenciales parciales, y salió todo el tema del problema de autovalores de Sturm-Liouville, etc. Era realmente apasionante, y me dije: De verdad, qué gran ventaja poder entender qué es un espacio vectorial, y poder generalizar. ¡¡¡Qué potencia tiene el álgebra abstracta!!! Para mí, fue un gran paso el darme cuenta de la importancia que tiene, pues me empuja desesperado a tratar de aprehenderla. Pero desde luego, pienso que aún no comprendo el concepto de espacio vectorial en sí. Es decir, si me dieses ejemplos de espacios vectoriales, creo que no sabría decirte si de verdad son espacios vectoriales. ¡O quizá con dos ejemplos me hayan bastado (R^n y las ecuaciones diferenciales lineales) y sí sabría decírtelo!

Por eso, si empiezo a leer un libro que me habla sobre entes tan, tan abstractos, sin ni siquiera mencionar un ejemplo... ¿cómo voy a interpretar eso que me presentan? Pues lo interpretaré, para mi desgracia, justo como lo interpretaba cuando aprendía álgebra en primero de carrera, de la única forma que podía interpretarlo: Como me daba la gana, para darle un sentido propio a lo que yo estaba haciendo y con lo que estaba operando. Recuerdo que el sentimiento de impotencia que me generaba, era para echarse a llorar. A mí siempre se me han dado de maravilla las matemáticas, capto los conceptos de un plumazo y veo más allá que el resto en general, y trato de relacionarlo todo con todo ( pongo estos guiños, porque sé de mis limitaciones jajajaja) Cuando me vi envuelto en conjuntos, anillos, etc., y nada podía explicarse sin recurrir circularmente un concepto en otro ni, ¡por supuesto! acudiendo a todo lo que ya sabía de matemáticas (suma, resta, potencia, números, vectores, matrices, ecuaciones, etc etc etc), de verdad tenía ganas de llorar. A veces me pasa ahora también hahaha por suerte, no me veo en la obligación de hacerlo. Pero es que de verdad, necesito poder entender qué es lo que tratan de decirme esos libros, si no fuera interesante nadie se molestaría en escribir esas morfadas por doquier...

[cerrar]

En cuanto a dónde están las funciones, números y demás, son sólo ejemplos, en matemáticas son importantes para comprender los conceptos, pero su importancia no pasa de ahí

Creo que todo se resume en esa cita. Para ti no es importante el llegar a comprender los conceptos, porque ya los entiendes, un espacio vectorial es algo evidente, facilón, una variedad también, etc. Y de hecho, ¡es que estoy seguro de que así es! Seguro que es facilísimo. Pero necesito que me enseñes cosas blancas para poder entender qué es el blanco. Y necesito que me enseñes cosas verdes para que me enseñes a discernir el verde. Aun a riesgo de creerme que sólo son verdes las plantas, creo que es la única manera (¿cuál sino? La definición por conjuntos me parece equivalente a expresar que verde es aquel cuerpo que emite radiación 500 nm de longitud de onda). Habrá quien necesite muchos ejemplos para aprender el concepto de blanco. Y habrá quien necesite muchos colores para aprender el concepto de color. Por suerte, yo logro aprenderlo muy rápidamente. ¿Pero quién puede darme esos conceptos, si todo el mundo se empeña en sus libros en darme anotaciones sobre radiación electromagnética, o, incluso a veces, física cuántica? Que sí, que es la base de la física (o los conjuntos de las matemáticas), pero dame un ejemplo por favor hahaha No te lo digo a ti Es un grito al cielo

Sobre cómo definiría una función, lo haría así:
Una función se define por lo que hace: Coge uno o varios números, vectores, matrices, tensores, y lo que te dé la imaginación, ejecuta operaciones sobre ellos y/o entre ellos, y devuelve un único número, vector, matriz, tensor... o lo que te dé la imaginación. Si te da varios, como la no-función \( f(x)=\pm{}\sqrt[ ]{x} \), no es función. Hay quien lo considera función, pero le llama función multiforme. Ejemplo de funciones: \( f(x)=+\sqrt[ ]{x},f(x,y,z)=(x,zx,y^x),f(x,y)=x^2+y^2 \), donde x e y son números. También pueden ser matrices cuadradas de la misma dimensión. Todo lo que pueda "encajar" en esa expresión que tenga un significado, y que el significado coincida con la definición de función que he puesto.

Y con esta definición, enfatizando en el hecho de que no toda función tiene que poderse expresar por escrito analíticamente, y pueden expresarse por curvas (una figura de ejemplo), condiciones, etc., estoy seguro de que casi cualquiera lo entendería Cuando publique este mensaje, con tu permiso, leeré el spoiler

Sobre las demostraciones de la facultad y la forma de enseñar

Las demostraciones en la facultad dependen del profesor: La mayoría ni se molestan, y sueltan los conceptos tal cual (cosa que me enerva), pero los buenos no es que lo demuestren, lo deducen, y eso sí que es intuitivo, y hace comprender y relacionar conceptos. Demostrar por reducción al absurdo que la integral de x es \( \dfrac{x^2}{2} \) puede darte la seguridad de que así es, pero ni por asomo te da la visión que te otorga la deducción a partir de sumas de Riemann, tomando el límite cuando el número de particiones del dominio tiende a infinito. Por eso las demostraciones para mí no son relevantes. Si queda demostrado algo, pues hale, así será. Pero no te otorga la visión sobre qué es ese algo, qué implica, etc. (hay excepciones, claro, pero no por lo general, a diferencia de las deducciones).

Lo que me molesta de que no demuestren (deduzcan o no), es que así no aprendo a demostrar cosas y a leer demostraciones y sacarle el jugo, si alguna vez lo necesitara. Por suerte, lo he necesitado pocas veces, y por mi cuenta he sabido conseguirlo y demostrar lo que me proponía.

[cerrar]

Sobre lo obvio

Sobre lo obvio, comparto contigo que una demostración da seguridad allí donde lo obvio da cierta incertidumbre Pero demostrar que el vigésimo sexto término de tu sucesión es 2x26, si es que lo es, y darme una seguridad infinita de que así es, no tendría nada de sentido si no comprendo bien el concepto de qué es una sucesión, y de la importancia específica del vigésimo sexto término, y las consecuencias que ello tendría. Si lo entendiera, entonces preguntaría ávido: ¿Es de verdad 52 ese término? Me parecería obvio, pero... necesitaría demostrarlo. De la misma forma, saber que una aplicación lineal de dimensión finita puede expresarse en general con una forma canónica de Jordan, no tiene ningún interés para mí, y me parece un sinsentido. En cambio, si necesitara expresar cierto sistema lineal en una base tal que... ... entonces diría, ¡uf! ¡por favor, tengo que encontrar una base tal que el sistema pueda expresarse tan simple como ésto! Y tachán! deduciría la forma canónica de Jordan.

Nota: Sé hacer la forma canónica de Jordan, pero no sé qué es conceptualmente. Supongo que será como diagonalizar, pero para los casos en que no se puede diagonalizar, será como casi-diagonalizar en una forma simple y haciendo uso de la exponencial, función tan útil a la hora de integrar y derivar.

[cerrar]

Por último, de verdad admiro cuanto sabes de todas estas cosas de conjuntos, variedades... ¿Cómo crees que puedo conseguir lo mismo?

Mil gracias por tu dedicación Fallen Angel de verdad

P.D. \( f(x,y)=x^2+y^2 \), según tu definición, sería una función cumpliendo que: A es el conjunto de todos los pares de matrices cuadradas, B es el conjunto de todas la matrices cuadradas. Fallen Angel, yo entiendo que tu definición es hipermegageneral, y se puede aplicar en todos los casos. El problema está en... ¿Crees que es posible entender qué es una función (y al entenderlas, en general sabes identificarlas) a partir de tu definición? Suponiendo que uno no sabe qué es una función. Yo no sabría cómo podría, yo mismo, aprenderlo así. No estoy haciendo una crítica, en absoluto, es más bien que, si crees que es así y que sí se puede aprender conceptos de ese tipo directamente de forma tan general, dime por favor qué camino has seguido, que ojalá pueda yo hacer lo mismo hahaha

P.D.2: Nunca había visto el concepto de producto cartesiano, pero me atrevería a decir que el conjunto dominio A e imagen B de la función anterior es: Si denoto por M el conjunto de todas las matrices cuadradas, sería: \( f: M\times{}M \longrightarrow{}M \), ¿cierto? A esto me refieron con que aprendo rápido. No tengo miedo a aprender, leeré los libros que hagan falta, y tendré la paciencia que necesite. Pero es que llevo tres años a ciegas intentándolo, y no sé qué puedo hacer. Demasiadas palabrejas y conceptos extraños y nunca ningún ejemplo...

[Carlos Ivorra]

Compara estas dos "definiciones" de derivada:

A) Una función \( f:\left]a,a\right[\longrightarrow \mathbb R \) es derivable en un punto \( x_0 \) de su dominio si existe el límite

\( \textstyle f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \),

y en tal caso a \( f'(x_0) \) se le llama derivada de \( f \) en el punto \( x_0 \).

B) Una función \( f \) es derivable en un punto \( x_0 \) si tiene una recta tangente en \( x_0 \), y en tal caso a la pendiente de dicha recta tangente se la llama derivada de \( f \) en \( x_0 \), y se representa por \( f'(x_0) \).

¿Te parece que la definición A es abstracta hasta la inutilidad, que uno puede prescindir completamente de ella y que es mucho más clara la definición B, y que basta con ella para entender lo que es una derivada?

No sé si me vas a responder que sí, pero en el supuesto de que lo hagas, la pregunta siguiente es:

¿Crees que con la segunda definición alguien puede llegar a comprender por qué \( (fg)' = f'g+fg' \)?

Todos los ejemplos que pones son de esta misma situación a distintos niveles. Puedes decir que con la segunda "definición" tienes una idea de "lo que pretende ser la derivada", pero no de lo que es, en el sentido de que con la "definición B" no puedes llegar muy lejos. Sólo podrás convencerte de que las derivadas cumplen lo que obviamente deben cumplir a partir de su definición intuitiva, pero difícilmente podrás determinar con esa definición si es lícito, por ejemplo, intercambiar una derivada por una integral en un contexto determinado. Ese tipo de cuestiones han hecho vacilar a los matemáticos desde que inventaron el cálculo diferencial hasta que se contó con definiciones rigurosas de derivada e integral.

En todo lo que dices pareces oscilar entre dos posiciones muy diferentes: a veces parece que digas que la matemática rigurosa es inútil, y a veces parece que digas que el problema es que no se explica adecuadamente. En lo segundo te doy la razón en casi todo lo que dices, pero, si realmente quieres afirmar lo primero, entonces estás muy equivocado. Todas las cosas que dices que "te dan igual" (sugiriendo tal vez que si todo el mundo se olvidara de ellas no pasaría nada) son fundamentales en aquellas circunstancias en las que tienes que decidir si algo que no está intuitivamente claro es verdadero o falso (cosas del estilo de si puedes intercambiar una integral con una serie, o si para aplicar tal teorema a tal función hace falta o no que su dominio sea compacto, etc.) Sin tener presentes en todo momento esas precisiones que te parecen superfluas, un profesor podría "demostrar" muchas mentiras que convencieran a cualquier alumno de que todo va bien hasta que llegara a la conclusión de que, digamos, \( \mathbb R^n \) es finito, de manera que el problema no estaría en el argumento en sí, sino en un teorema que se "demostró" tiempo atrás y al que nadie consideró oportuno ponerle pegas en su momento.

[Piockñec]

No es que sea inútil, Carlos, muy al contrario, escribir matemáticamente los conceptos es lo más útil que hay. Trataré de clarificar el por qué de la aparente contradicción de mi postura:

En el ejemplo que has puesto, y creo que se puede extrapolar a cualquiera, la derivada no es un invento por la cara en la historia. Quizá no sea así, pero tendría todo el sentido del mundo que comenzara a cuestionarse con consideraciones de "ratios", tasas de variaciones medias, y tangentes (de hecho, creo que el libro de Leibnitz tenía por título algo así como "la aplicación del concepto de tangente para...", y no creo que sea casualidad)(Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, acabo de encontrarlo por ahí. Ya me picaba la curiosidad )

Es decir, el concepto intuitivo, geométrico, nada o poco formal, concreto, o como quieras llamarlo, es tremendamente útil para captar la esencia del asunto (aquí encaja la pregunta que le hice a Fallen Angel: Es tremendamente útil, ¿pero también imprescindible? ¿O de verdad es posible captar lo que es una función en todo su sentido y generalidad con la definición que él me dio? (Y haciendo algunas cosas más, supongo, pero es que no sé el qué. Si fuera posible, me apunto enseguida a aprender de esa forma).

Por eso digo que la definición abstracta NO es inútil, sino todo lo contrario, encierra una utilidad y un poderío inconmensurable, que sólo atisbo a ver, ya con el concepto de linealidad y de espacio vectorial (¡sólo atisbo!). Con otros, ¡ni me imagino! Y con este post buscaba un libro porque he querido atisbar en, justamente, la generalización de tu ejemplo: la derivada (y la diferencial, y la integral... ) Pero por esta misma causa: Porque sé que lo abstracto es inmensamente útil y poderoso, y me encantaría aprehenderlo. Pero no puedo con el lenguaje del que tú eres experto jajaja ya traté de leer alguno de tus libros también, pero es que no puedo. Entiendo cuando en tus libros hablas con palabras, cuando expones los conceptos justo antes de entrar a saco con ellos. Pero cuando de repente dices: Sea A el conjunto... ahí ya me pierdo y me pregunto: ¿Conjunto? ¿Pero no estaba hablando de funciones y derivadas? Y recuerdo que a ti eso de los conjuntos te encanta Pero no es personal tuyo, es general a casi todos los matemáticos. Y eso es lo que quiero corregir: No quiero corregirte a ti, ni a los matemáticos, no es un fallo lo que tú haces. Es mi fallo, mi problema, el no poder entenderte, y ese problema es el que quiero corregir, pero no sé cómo.