[ismael4790]

Hola. A ver si podéis echarme una mano con esta cuestión.

Tengo la definición siguiente:
Dos aplicaciones \( f:\rightarrow{X} \) y \( g:Y\rightarrow{Y} \) se dice que son topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo \( h \) que verifica que \( hf=gh \).

Ahora, lo que se pide es:

Dadas \( f:R\rightarrow{R} \) , \( g:R\rightarrow{R} \) / \( f(x)=ax \) y \( g(y)=by \), con \( a,b\in{R} \), Encontrar la aplicación h de la definición.

Muchas gracias 

[EnRlquE]

Hola.

 ¿Estas seguro que esas son todas las hipótesis del problema?, porque por ejemplo si \( a=1 \) y \( b=2 \), de existir \( h \) tendríamos que \( h(x)=2h(x) \) para todo \( x\in\mathbb{R} \), pero de esto se deduce que \( h \) debería ser la función nula, cosa que no puede ser ya que \( h \) es un homeomorfismo.

 Sospecho que \( f \) y \( g \) son topológicamente conjugadas para valores de \( a \) y \( b \) con más restricciones que únicamente ser números reales. Nota además que si \( a=0 \), necesariamente \( b=0 \) para que \( f \) y \( g \) sean topológicamente conjugadas.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Observa que si \( a,\,b\in(0,1) \) o \( a,b\in(1,+\infty) \), si definimos \( h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) por

\( h(x)=\begin{Bmatrix}x^{\log_{a}b}& \mbox{ si }& x\geq0\\-(-x)^{\log_{a}b} & \mbox{si}& x<0,\end{matrix} \)

se tiene que \( h \) es un homeomorfismo y además \( hf=gh \). Con un poco más de trabajo se puede mostrar que si \( a\in(0,1) \) y \( b>1 \), entonces \( f \) y \( g \) no son topológicamente conjugadas. Intenta extender esta misma idea a los valores de \( a \) y \( b \) que faltan analizar.

Saludos.

[ismael4790]

Gracias por tus respuestas, Braguildur.
Me acababan de dar la definición, y ya me pedían esto.No sabía cómo abordarlo.

Imaginaba que no valdría para cualquier par \( (a, b) \) de reales, porque según creo, si son topológicamente conjugadas, conservan 'cualitativamente' el sistema.Y por ejemplo, para valores de a y b ,con |a|<1, y |b|>1, el primer sistema tendría al cero como fijo atractor, y el segundo como fijo repulsor.
Lo que no veo es cómo demostrar eso con cierto rigor (que no podría existir ese h de la definición).

Por otro lado, para extender la idea de h a otros valores de a y b; ¿bastaría con esto?
Por ejemplo, si a y b ambos negativos menores que -1, cambiar en h \( \log_{a}b} \) por \( \log_{-a}-b} \);
si a negativo menor que -1 y b positivo mayor que 1 , cambiar \( \log_{a}b} \) por \( \log_{-a}b} \), etc...

Mil gracias.