Autor Tema: Cuestión aplicaciones conjugadas

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25 Noviembre, 2010, 10:34
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ismael4790

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Hola. A ver si podéis echarme una mano con esta cuestión.

Tengo la definición siguiente:
Dos aplicaciones \[ f:\rightarrow{X} \] y \[ g:Y\rightarrow{Y} \] se dice que son topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo \[ h \] que verifica que \[ hf=gh \].

Ahora, lo que se pide es:

Dadas \[ f:R\rightarrow{R} \] , \[ g:R\rightarrow{R} \] / \[ f(x)=ax \] y \[ g(y)=by \], con \[ a,b\in{R} \], Encontrar la aplicación h de la definición.

Muchas gracias  ;)

25 Noviembre, 2010, 22:03
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 ¿Estas seguro que esas son todas las hipótesis del problema?, porque por ejemplo si \[ a=1 \] y \[ b=2 \], de existir \[ h \] tendríamos que \[ h(x)=2h(x) \] para todo \[ x\in\mathbb{R} \], pero de esto se deduce que \[ h \] debería ser la función nula, cosa que no puede ser ya que \[ h \] es un homeomorfismo.

 Sospecho que \[ f \] y \[ g \] son topológicamente conjugadas para valores de \[ a \] y \[ b \] con más restricciones que únicamente ser números reales. Nota además que si \[ a=0 \], necesariamente \[ b=0 \] para que \[ f \] y \[ g \] sean topológicamente conjugadas.

Saludos.

26 Noviembre, 2010, 01:16
Respuesta #2

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Observa que si \[ a,\,b\in(0,1) \] o \[ a,b\in(1,+\infty) \], si definimos \[ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \] por

\[ h(x)=\begin{Bmatrix}x^{\log_{a}b}& \mbox{ si }& x\geq0\\-(-x)^{\log_{a}b} & \mbox{si}& x<0,\end{matrix} \]

se tiene que \[ h \] es un homeomorfismo y además \[ hf=gh \]. Con un poco más de trabajo se puede mostrar que si \[ a\in(0,1) \] y \[ b>1 \], entonces \[ f \] y \[ g \] no son topológicamente conjugadas. Intenta extender esta misma idea a los valores de \[ a \] y \[ b \] que faltan analizar.

Saludos.

26 Noviembre, 2010, 07:13
Respuesta #3

ismael4790

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Gracias por tus respuestas, Braguildur.
Me acababan de dar la definición, y ya me pedían esto.No sabía cómo abordarlo.

Imaginaba que no valdría para cualquier par \[ (a, b) \] de reales, porque según creo, si son topológicamente conjugadas, conservan 'cualitativamente' el sistema.Y por ejemplo, para valores de a y b ,con |a|<1, y |b|>1, el primer sistema tendría al cero como fijo atractor, y el segundo como fijo repulsor.
Lo que no veo es cómo demostrar eso con cierto rigor (que no podría existir ese h de la definición).

Por otro lado, para extender la idea de h a otros valores de a y b; ¿bastaría con esto?
Por ejemplo, si a y b ambos negativos menores que -1, cambiar en h \[ \log_{a}b} \] por \[ \log_{-a}-b} \];
si a negativo menor que -1 y b positivo mayor que 1 , cambiar \[ \log_{a}b} \] por \[ \log_{-a}b} \], etc...

Mil gracias. :)