[anartesi]

Hola, este ejercicio es del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.

Dice así:
determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{x^n}{2n-1}}$$
Lo que hice fue lo siguiente:

$$\left |{\displaystyle\frac{a_n+1}{a_n}}\right |= \left |{\displaystyle\frac{x^{n+1}. (2n-1)}{(2n+1).x^n}}\right |=\left | {\displaystyle\frac{2n-1}{2n+1}}\right |.\left |{x}\right |$$ y eso tiende a $$1.\left |{x}\right |$$ si $$n\rightarrow{\infty}$$


Según la prueba que estoy usando, converge si $$\left |{x}\right |<1$$ si $$x \in{(-1,1)}$$ y diverge si $$x\not\in (-1,1)$$
Entonces el radio sería 1.

Lo que me faltaría sería ver que pasa en los extremos del intervalo, para eso usé el criterio de series alternadas de Leibnitz, si $$x= -1$$
la serie sería:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n . \displaystyle\frac{1}{2n-1}}$$
por ser $$\displaystyle\frac{1}{2n-1}>0$$ , decreciente y $$\displaystyle\lim_{n \to\infty}{\displaystyle\frac{1}{2n-1}}=0$$ esa serie sería convergente.

Luego, si $$x=1$$ (el otro extremo del intervalo), la serie sería más simple:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{2n-1}}$$ es una serie de esta forma: $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n^p}}$$ con $$p=1$$ DIVERGENTE.

finalmente, la serie converge en $$x=-1$$ y diverge en $$x=1$$. Entonces el intervalo de convergencia sería $$[-1, 1)$$
Hice las cuentas y es correcto esto, pero ¿estaría bien explicado así o con las cuentas es suficiente?

[delmar]

Hola

Yo lo veo correcto, para complementar se podría mencionar los nombres de los criterios de convergencia que usas. En el último caso se puede usar el criterio de comparación por paso al límite con la serie armónica.


Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Hice las cuentas y es correcto esto, pero ¿estaría bien explicado así o con las cuentas es suficiente?

Creo que la parte en que aplicas el criterio de Leibniz estaría mejor explicada si dices que \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n-1}=0 \) y la sucesión \( \{|a_n|\}_{n\in\mathbb{N}} \) siendo \( a_n=\dfrac{(-1)^n}{2n-1} \) es decreciente. 
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Hola, y gracias por el comentario. Me quedé pensando en esto, porque en mis apuntes y en el libro que tengo, no se calcula el límite de $$a_n=\displaystyle\frac{(-1)^n}{2n-1}$$, sino el de $$a_n=\displaystyle\frac{1}{2n-1}$$.
...

Si no recuerdo mal, las hipótesis para poder aplicar el criterio de Leibniz a una serie alternada \( \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) son:
1) \( \lim\limits_{n\to \infty }a_n=0 \)
2) \( \{|a_n|\}  \) decreciente, i. e.  \(  |a_{n+1}|<|a_n|\, \forall\, n\geq n_0 \).
Respecto al apartado 1) lo que pasa es que  \( \lim\limits_{n\to \infty }a_n=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to \infty }|a_n|=0 \)
Saludos