No, no me disgusta. De hecho mi acercamiento a las matemáticas tienen algo de eso de disfrutar los puzzles que van surgiendo. Tampoco me quejo del enfoque que pueda tener algún libro ni nada de eso. Pero nunca antes hasta hace poco había tenido esa impresión de "construir castillos en el aire" tan clara como la que me dejaron estas últimas lecturas en análisis funcional (y eso que hace unos años ya había leído un libro de análisis de funcional entero, es decir no es algo que desconozca por completo).
Por eso tengo la impresión de que has planteado tu objeción al axioma de elección de una forma muy general, cuando en realidad querías cuestionar algo mucho más restringido.
La cuestión es que, una cosa es tener algún que otro teorema basado en el lema de Zorn, que quizá pueda demostrarse sin él, y otra es tener toda una rama entera de las matemáticas construidas casi en exclusiva sobre ese pilar y que no son posibles sin él. La impresión que me deja no es la misma. Desde luego no es algo fruto de sesudas elucubraciones a lo que me refiero, sino una impronta.
Te pongo un ejemplo que se ajusta perfectamente a la situación que describes: en 1989 Saharon Shelah publicó este teorema:
Si suponemos que \( 2^{\aleph_n}<\aleph_{\omega} \) para todo número natural \( n \), entonces \( 2^{\aleph_\omega}<\aleph_{\omega_4} \).
Aquí \( \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots \) son los primeros cardinales infinitos y \( \aleph_\omega \) es el menor cardinal mayor que todos éstos. Y \( \aleph_{\omega_4} \), bueno, es un cardinal algo mayor.
Pero no importan los detalles. El caso es que este teorema encaja justamente en el perfil que describes. Forma parte de una teoría en la que el axioma de elección es esencial en todos y cada uno de sus resultados. Pero lo que puede decirse (y lo que no) sobre la aritmética de los cardinales infinitos es lo que es, depende de unas reglas fijas que no podemos cambiar. Y para cualquiera familiarizado con esas reglas es fascinante que saber algo sobre los cardinales \( 2^{\aleph_n} \), a saber, que sean todos menores que \( \aleph_\omega \), condiciona el valor que puede tomar \( 2^{\aleph_\omega} \). En realidad, que lo condiciona de algún modo es algo que ya se sabía, pero que se pueda dar concretamente la cota \( \aleph_{\omega_4} \) es algo increíble. De hecho, Shelah tiene un artículo al respecto titulado
What the hell is four? Obviamente, a cada cual le parecerán interesantes unas cosas sí y otras no, y no tiene sentido discutir sobre gustos, pero yo, personalmente, te puedo decir que a mí me parece interesantísimo saber cómo se puede probar algo así. De hecho, no conozco la prueba, porque se basa en una teoría muy técnica que nunca he tenido tiempo de estudiar (la teoría de Shelah de cofinalidades posibles). Pero justo hace un momento, cuando buscaba en internet la fecha del teorema, me he encontrado por casualidad un artículo que demuestra este teorema en 10 páginas, y en cuanto pueda voy a leerlo y estudiarlo, por pura curiosidad. Seguro que es imposible aplicarlo a la física de ningún modo, toda la teoría tiene el axioma de elección inyectado en vena en la forma más fuerte posible, pero, personalmente, ese \( \aleph_{\omega_4} \) me parece pasmoso y me basta para justificar mi interés por conocer una prueba del teorema.
La misma sensación me dejó cuando leí hace años la construcción de los hiperreales de Robinson (sensación de "chapuza"), que en su construcción original necesitan ultrafiltros maximales imposibles de explicitar en modo alguno, y cuya existencia depende directamente de aceptar el lema de Zorn (= axioma de elección).
Pues ese ejemplo puede volverse fácilmente en tu contra. Es posible exponer el análisis no estándar de forma que, usando esos ultrafiltros maximales que tanto rechazo te generan, se puede demostrar que:
Todo teorema que puedas demostrar usando análisis no estándar (es decir, infinitésimos y esas cosas) que, en su enunciado, no involucre ningún concepto no estándar, también puede demostrarse sin usar análisis no estándar.
Esto hace que, en principio, sea posible encontrar una demostración de un resultado que tenga una idea de fondo clara si se piensa en términos del análisis no estándar, pero que, en principio, sea más complicado que a alguien se le ocurra si intenta abordar el problema con técnicas estándar. Para ponerte un ejemplo que ilustrara adecuadamente esta posibilidad habría que buscar entre demostraciones complicadas de resultados analíticos, pero voy a ponerte una aproximación sencilla a lo que sería un ejemplo. Considera este teorema de Sierpinski:
Si \( n\geq 1 \) es un número natural y \( a_1, \ldots, a_n, r \) son números reales positivos, la ecuación
\( \dfrac{a_1}{x_1}+\cdots + \dfrac{a_n}{x_n}=r \)
tiene a lo sumo un número finito de soluciones naturales.
No creo que sea difícil demostrarlo con técnicas estándar, pero si tuviera que hacerlo, tendría que ponerme a pensar cómo, y sospecho que me costaría un poco pulir los detalles para que no quedaran cabos sueltos. Sin embargo, puedo ponerte de memoria una prueba no estándar, muy fácil de recordar. Lo que sigue es un argumento que es totalmente concluyente para alguien familiarizado con el análisis no estándar. No lo pongo para que analices los detalles, obviamente, sino únicamente para que veas el aspecto que tiene, para que veas que, sin entrar en detalles, que es un argumento muy simple y fácil de recordar:
Demostración
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \( n\geq 2 \) y que todos los datos son números estándar. Llamemos \( S \) al conjunto de soluciones de la ecuación, es decir, el conjunto de todas las n-tuplas \( (x_1,\ldots, x_n) \) de números naturales que cumplen la ecuación. Queremos probar que es un conjunto finito.
Supongamos, por reducción al absurdo, que \( S \) es infinito. Entonces tiene que tener un elemento no estándar. Como \( n \) es estándar, una n-tupla no estándar tiene que tener al menos una componente no estándar, es decir, que un \( x_i \) tiene que ser un número natural infinitamente grande.
No pueden ser todos los \( x_i \) infinitamente grandes, porque entonces el miembro izquierdo de la ecuación sería infinitesimal, mientras que el miembro derecho \( r \) no lo es.
Reordenando los coeficientes, podemos suponer que \( x_1,\ldots, x_k \) son no estándar, mientras que \( x_{k+1},\ldots, x_n \) son estándar. Entonces reescribimos la ecuación como
\( \dfrac{a_1}{x_1}+\cdots +\dfrac{a_k}{x_k} = r-\dfrac{a_{k+1}}{x_{k+1}}-\cdots - \dfrac{a_n}{x_n} \).
Nuevamente tenemos que el miembro izquierdo es infinitesimal (luego no estándar) mientras que el miembro derecho es estándar, y tenemos una contradicción que prueba el teorema.
Puedes probar a demostrar (tú o cualquier lector curioso) este resultado con técnicas estándar. No lo he pensado, pero sospecho que no será complicado. Pero apuesto a que una demostración estándar será, como mínimo, un poco más técnica que la no estándar.
E, insisto, la existencia de esta demostración no estándar prueba —usando ultrafiltros y toda la pesca— que también existe una demostración estándar, que, sin duda, no requerirá ultrafiltros ni nada que se le parezca.
Desde entonces, hasta hoy con este libro de análisis funcional que estoy hojeando, no había vuelto a tener esta sensación. Que sí, que entiendo los motivos de su uso y utilidad en lo que antes denominaba "economía del pensamiento", pero eso no hace que disminuya demasiado esa sensación de, llamémoslo, "castillos en el aire" o "teoremas gratuitos" por darle otro nombre.
Para responder a eso habría que saber en qué resultados concretos estás pensado. Has puesto el ejemplo del teorema sobre normas equivalentes. ¿Sigues pensando que una prueba con el axioma de elección no está justificada —no está justificado su interés, quiero decir— por el hecho de que muestra que es una pérdida de tiempo tratar de probar lo contrario?
Igualmente este tema me ha servido para ampliar algo mi perspectiva y estar algo menos "espantado". Intuyo que lo que me molesta en el fondo es la noción implícita de "verdad electiva", es decir, dependiendo de si tomamos el axioma de elección o no unos mismos teoremas pasan de ser ciertos a falsos, por tanto carecen de "verdad intrínseca". Todas estas cosas me parecen muy alejadas del origen de las matemáticas, ligado a la experiencia sensible.
Ahí estás entrando en otra clase de argumentos que no están relacionados directamente con la aplicación práctica. Diría que en el fondo te estás planteando si el axioma de elección es verdadero o no, en algún sentido objetivo de la palabra. ¿Si pudiera argumentarse que es verdadero, al margen de que pueda carecer de aplicaciones prácticas, entonces te parecería más aceptable?
Luego, como dice argentinator, la negación del teorema de elección me parece tan pintoresca como el propio axioma: el axioma de elección permite demostrar teoremas con un contenido muy parecido al de su negación, es decir, permite demostrar la existencia de un objeto extraño o inverosímil.
En realidad, no hay por qué considerar que la alternativa al axioma de elección es su negación. Hay muchas alternativas posibles más fuertes que su negación. Por ejemplo, en la línea de argentinator, una alternativa al axioma de elección más fuerte que su mera negación es ésta:
Existe un conjunto numerable \( \{P_n\}_{n=0}^\infty \), de modo que \( \forall n\in \mathbb N\exists xy\, P_n = \{x,y\} \) y, sin embargo, no existe ninguna sucesión \( \{x_n\}_{n=0}^\infty \) tal que \( \forall n\in \mathbb N\, x_n\in P_n \).
Si no supones el axioma de elección, puedes suponer esto en su lugar, y no llegarás a ninguna contradicción, al menos si la teoría de conjuntos sin el axioma de elección no es contradictoria.
Pero es verdad que esto no ayuda a demostrar nada interesante. Hay otras alternativas al axioma de elección, como el llamado axioma de determinación, que permite probar que todo subconjunto de \( \mathbb R \), o de \( \mathbb R^n \), es medible Lebesgue (con lo que la paradoja de Banach-Tarski es falsa), y otros resultados "agradables".
En cualquier caso, por rechazar el axioma de elección no estás obligado a aceptar ninguna alternativa. Puedes plantarte en aceptar únicamente las matemáticas que se demuestran sin él, sin añadir su negación ni ninguna otra cosa. Otra cosa es que, así, yo diría que te pierdes muchas cosas interesantes. Incluso tengo la impresión de que no pretendes ser tan drástico.
Por eso creo que no sirve de mucho discutir en términos generales, sino que habría que considerar ejemplos concretos que incluyas en lo que te parece "perverso". Sobre el ejemplo de las normas, te he dado un punto de vista que todavía no sé si te convence o no. Sobre las teorías que dependen esencialmente del axioma de elección, te he puesto el teorema de Shelah, que no sé si admitirás que, independientemente de que entre o no en tus intereses personales, entiendas que a otros nos pueda parecer fascinante y digno de estudio. Sobre el ejemplo del análisis no estándar te he señalado que todas las pruebas no estándar son traducibles a pruebas estándar, y no sé si eso te bastará para admitirlas como una herramienta legítima para demostrar cosas. Creo que no has puesto más ejemplos.
