Buen punto. En ese caso tal teorema podría tener una aplicación indirecta. Pero me sigue dejando la sensación de estar construyendo castillos en el aire de muy dudosa utilidad.
Detallo más la situación: es bien conocido que en un espacio vectorial (sobre \( \mathbb R \) o \( \mathbb C \)) de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Resulta natural preguntarse si no habrá una clase más amplia de espacios vectoriales, aparte de los de dimensión finita, en los que dos normas sean necesariamente equivalentes o, al menos, dos normas completas.
No cabe duda de que si dispusiéramos de un resultado que dijera que si un espacio vectorial tiene una norma completa
que cumple tal y cual, entonces cualquier otra norma completa es equivalente a la dada, eso sería útil para muchas cosas.
Por lo tanto, no es raro que haya muchos matemáticos que tengan alguna idea sobre qué podría exigirse como "tal y cual" para obtener un resultado de ese tipo. No es raro que muchos matemáticos dediquen parte de su tiempo a encontrar una respuesta a ese problema que será más útil cuanto más amplia sea la clase de espacios encontrados, cuanto menos restrictivas sean las condiciones
"tal y cual". Pero un día aparece un matemático y demuestra el resultado que has mencionado. Se trata de un resultado valioso, porque zanja un problema que interesaba a muchos matemáticos. Es verdad que les interesaba porque una respuesta
positiva sería interesante, y mucho más cuanto más amplia fuera la clase de espacios encontrada, pero la respuesta ha resultado ser
negativa y más aún,
no constructiva. ¿Qué le vamos a hacer?
Según tu planteamiento, ¿el matemático que ha encontrado esta prueba negativa y no constructiva, debería abstenerse de publicarla porque no tiene interés práctico, y dejar que muchos otros matemáticos sigan buscando una solución (a ser posible positiva) en un problema que no la tiene? ¿No interesará a los matemáticos que estaban intentando encontrar algo que no existe el saber que realmente nunca van a encontrar lo que buscan?
Si un matemático escribe un libro de análisis funcional y en un momento dado en su exposición surge de forma natural el problema de si no se podrá extender a otros espacios el hecho de que todas las normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes, ¿no es pertinente que aclare al lector que existe una demostración (no constructiva) de que es imposible tal extensión, incluso si se restringe a normas completas? ¿Y no es razonable que un lector se pregunte por qué no puede existir tal extensión y tenga curiosidad por conocer la demostración?
No me acaba de cuadrar que, por una parte, admitas que se da esta situación (que es natural que los matemáticos busquen una extensión del resultado sobre espacios de dimensión finita) y, por otra, digas que tiene poca utilidad concluir que en realidad no es posible. Demostrar que un problema no tiene solución (o no tiene la solución positiva esperada) no es hablar sobre el sexo de los ángeles. Es dar una respuesta práctica muy concreta a un problema práctico muy concreto. Digo "práctico" en el sentido de que resuelve en la práctica la situación, puesto que deja claro que es inútil seguir buscando, sin entrar en contradicción con que el teorema en sí no tenga nada de "práctico" al ser no constructivo.
