[Fermatsito]

Buenas tardes. Estaba practicando mi trigonometría y hay un problema de demostración en el libro que dice:

Ejercicio. Demostrar que \( \cos12°\cos24°\cos48°\cos96°=-\dfrac{1}{16} \).

Ya encontré una demostración usando las fórmulas de trigonometría para convertir el producto en suma y la resta en producto (la adjunto como spoiler). Sin embargo, mi duda es: ¿será posible hacer la demostración sin recurrir a esas fórmulas? Me lo pregunto, porque este problema vienen en una sección del libro previa a la demostración de las fórmulas que yo utilicé para mi demostración. Sin embargo, por más que lo he pensado, no se me ocurre cómo hacerle sin usar las fórmulas que ya usé. Si me pudieran ayudar con esta duda (para saber si soy yo el que está mal o el libro está mal) se los agradecería.

Spoiler

Ejercicio. Demostrar que \( \cos12°\cos24°\cos48°\cos96°=-\dfrac{1}{16} \).

Demostración.

Reagrupando:

\( \cos12°\cos24°\cos48°\cos96°= \cos48°\cos12°\cos96°\cos24° \)

Usando la fórmula \(  \cos x\cos y= \dfrac{1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)] \)

\( \cos48°\cos12°\cos96°\cos24°=\dfrac{1}{4}(\cos60°+\cos36°)(\cos120°+\cos72°)=

-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}\cos72°-\dfrac{1}{8}\cos36°+\dfrac{1}{4}\cos36°\cos72° \)

Ya se obtuvo el \( -\dfrac{1}{16} \); por lo tanto, bastara con probar que \( \dfrac{1}{8}\cos72°-\dfrac{1}{8}\cos36°+\dfrac{1}{4}\cos36°\cos72°=0 \).

Por la fórmula \( \cos x-\cos y= -2\sin\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right) \) se tiene que:

\( \dfrac{1}{8}\cos72°-\dfrac{1}{8}\cos36°=\dfrac{1}{8}(-2\sin54°\sin18°)=-\dfrac{1}{4}\sin54°\sin18° \)

Y dado que \( \sin x = \cos (90°-x) \):

\( -\dfrac{1}{4}\sin54°\sin18°=-\dfrac{1}{4}\cos36°\cos72° \)

Por lo tanto:

\( \dfrac{1}{8}\cos72°-\dfrac{1}{8}\cos36°+\dfrac{1}{4}\cos36°\cos72°=-\dfrac{1}{4}\cos36°\cos72°+\dfrac{1}{4}\cos36°\cos72°=0 \).

Así, queda demostrado que \( \cos12°\cos24°\cos48°\cos96°=-\dfrac{1}{16} \).
 

[cerrar]

[electron]

Me ha recordado una fórmula que vi en su día:

https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/use-mathematical-induction-prove-following-statement-every-n-mathbb-n-holds-cos-x-cdot-ldo-q115220271

Este producto vale entonces \( \displaystyle\frac{sen(192^o)}{16sen(12^o)} \) (que, efectivamente, numéricamente es igual a \( -1/16 \)).

En este vídeo podemos ver cómo hallar por ejemplo el seno de \( 12^o \), que ya queda bastante "feo" con raíces:

Habría que seguir el mismo camino para calcular el de \( 192^o \) y finalmente racionalizar todo. Al final se usan cálculos parecidos a los de tu solución, con el añadido del final con las raíces; por tanto, no sé si sería de mucha utilidad, aunque ciertamente es un camino curioso.

Saludos

[Luis Fuentes]

Me ha recordado una fórmula que vi en su día:

https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/use-mathematical-induction-prove-following-statement-every-n-mathbb-n-holds-cos-x-cdot-ldo-q115220271

Este producto vale entonces \( \displaystyle\frac{sen(192^o)}{16sen(12^o)} \) (que, efectivamente, numéricamente es igual a \( -1/16 \)).

En este vídeo podemos ver cómo hallar por ejemplo el seno de \( 12^o \), que ya queda bastante "feo" con raíces:

Habría que seguir el mismo camino para calcular el de \( 192^o \) y finalmente racionalizar todo. Al final se usan cálculos parecidos a los de tu solución, con el añadido del final con las raíces; por tanto, no sé si sería de mucha utilidad, aunque ciertamente es un camino curioso.

\( Sin(192^o)=sin(180^o+12^o)=-sin(12^o) \)

No hace falta hallar el valor de \( sin(12^o). \)

Saludos.

[electron]

\( Sin(192^o)=sin(180^o+12^o)=-sin(12^o) \)

¡Es verdad! (gracias, Luis)

Entonces el producto vale \( \displaystyle\frac{sen(192^o)}{16sen(12^o)}=\displaystyle\frac{-sen(12^o)}{16sen(12^o)}=-\displaystyle\frac{1}{16} \)

Ya tenemos una segunda vía de resolución 

Saludos

[ani_pascual]

Me ha recordado una fórmula que vi en su día:

https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/use-mathematical-induction-prove-following-statement-every-n-mathbb-n-holds-cos-x-cdot-ldo-q115220271

Hola:
¡Curiosa fórmula! He visto que se puede probar fácilmente por inducción sobre \( n \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
¡Curiosa fórmula! He visto que se puede probar fácilmente por inducción sobre \( n \)
Saludos

Ha aparecido en el foro más de una vez. Cuando tenga un rato la busco...

Añadido.

Por ejemplo en estos dos hilos:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124756.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=14878.0

Saludos.

[Abdulai]

En el enlace me sale que hay que registrarse para ver la demostración.

\( P=\cos 12°\cos 24°\cos 48°\cos 96°= \dfrac{1}{\sin 12°} \underbrace{\sin 12° \cos 12°}_{\frac{1}{2}\sin 24°}\cos 24°\cos 48°\cos 96°=\\= \dfrac{1}{\sin 12°} \dfrac{1}{2}\; \underbrace{\sin 24° \cos 24°}_{\frac{1}{2}\sin 48°}\cos 48°\cos 96°  \)
\( ..... = \dfrac{1}{\sin 12°} \dfrac{1}{16}\;\sin 192° \)

El proceso recursivo puede hacerse con un ángulo arbitrario   \( \displaystyle\prod_{k=0}^{n} \cos\left(2^k \theta\right)= \dfrac{\sin\left(2^{n+1}\theta\right)}{2^n \sin\theta} \)
Y eligiendo convenientemente \( n \) y \( \theta \) "armamos" resultados curiosos como este

[Fermatsito]

Me ha recordado una fórmula que vi en su día:

https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/use-mathematical-induction-prove-following-statement-every-n-mathbb-n-holds-cos-x-cdot-ldo-q115220271

Este producto vale entonces \( \displaystyle\frac{sen(192^o)}{16sen(12^o)} \) (que, efectivamente, numéricamente es igual a \( -1/16 \)).

En este vídeo podemos ver cómo hallar por ejemplo el seno de \( 12^o \), que ya queda bastante "feo" con raíces:

Habría que seguir el mismo camino para calcular el de \( 192^o \) y finalmente racionalizar todo. Al final se usan cálculos parecidos a los de tu solución, con el añadido del final con las raíces; por tanto, no sé si sería de mucha utilidad, aunque ciertamente es un camino curioso.

Saludos

  Muchas gracias por la respuesta y por el enlace. Siempre me ha dado curiosidad cómo se calculan esos ángulos, digamos, "no notables" (como el de 12° o el de 192°, por ejemplo), y con tu enlace me has aclarado muchas dudas y he aprendido trucos nuevos. Tampoco conocía esa fórmula, pero estudiaré más al respecto.

[Fermatsito]

En el enlace me sale que hay que registrarse para ver la demostración.

\( P=\cos 12°\cos 24°\cos 48°\cos 96°= \dfrac{1}{\sin 12°} \underbrace{\sin 12° \cos 12°}_{\frac{1}{2}\sin 24°}\cos 24°\cos 48°\cos 96°= \dfrac{1}{\sin 12°} \dfrac{1}{2}\; \underbrace{\sin 24° \cos 24°}_{\frac{1}{2}\sin 48°}\cos 48°\cos 96°  \)
\( ..... = \dfrac{1}{\sin 12°} \dfrac{1}{16}\;\sin 192° \)

El proceso recursivo puede hacerse con un ángulo arbitrario   \( \displaystyle\prod_{k=0}^{n} \cos\left(2^k \theta\right)= \dfrac{\sin\left(2^{n+1}\theta\right)}{2^n \sin\theta} \)
Y eligiendo convenientemente \( n \) y \( \theta \) "armamos" resultados curiosos como este

Muchas gracias Abduali, ya con tu publicación queda totalmente aclarada mi duda  Supongo que es cuestión de experiencia (yo sé trigonometría y la he estudiado esporádicamente por años, pero apenas me estoy aplicando más a fondo para perfeccionar mi conocimiento al respecto), pero difícilmente se me habría ocurrido multiplicar por \( \csc 12°\sin 12° \), pero es una solución más directa y simple que la mía. Además, generalizaste la fórmula, eso es siempre muy útil.

[Fermatsito]

\( Sin(192^o)=sin(180^o+12^o)=-sin(12^o) \)

¡Es verdad! (gracias, Luis)

Entonces el producto vale \( \displaystyle\frac{sen(192^o)}{16sen(12^o)}=\displaystyle\frac{-sen(12^o)}{16sen(12^o)}=-\displaystyle\frac{1}{16} \)

Ya tenemos una segunda vía de resolución 

Saludos

Gracias por tu aporte Asumo que eso es lo que el libro esperaba que yo hiciese, pero mi cerebro ya estaba algo frito anoche y no vi esa solución más sencilla y hoy en la mañana se me ocurrió la que publiqué haciendo algo de trampa. Ya tengo un nuevo truco trigonométrico que añadir a mi repertorio.