[Alexito]

Hola Amigos estos estan fuertecitos 


1. Si: \( sen^2a+sen^2b+sen^2c=\displaystyle\frac{2}{7} \) determinar el máximo valor de \( sena+2senb+3senc \)

2. En la siguiente ecuación trigonométrica determinar el valor de \( x \)

\( sen10x\cdot{}cos20x\cdot{}cos40x\cdot{}cos80x\cdot{}cos160x\cdot{}cos320x=- \displaystyle\frac{1}{64} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Para el primero mira aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=14826.0

Saludos.

[coquejj]

Buenas! Aprovechando que tengo algo de tiempo, veamos el primero (supongo que no lo habrán propuesto en secundaria, parece propio de preparación para olimpiadas):

Como la suma de cuadrados recuerda a la norma (módulo) y la función a maximizar a un producto escalar de dos vectores, cabe pensar en la desigualdad de Cauchy-Schwartz, en virtud de la cual:

\( sena+2senb+3senc\leq{\sqrt[ ]{sen^2a+sen^2b+sen^2c}\cdot{}\sqrt[ ]{1^2+2^2+3^2}}= \)
\( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2}{7}}\cdot{\sqrt[ ]{14}}=2 \)

Como es habitual el máximo se alcanza cuando los dos vectores \( (1,2,3) \) y \( (sena,senb,senc)  \) son proporcionales.
Saludos.

[Alexito]

Uysh pero ese esta muy tranca amigo manco no creo que tenga mucha relación por que este es trigonometria y los valores \( sena, senb, senc \) oscilan entre \( -1 \) y \( 1 \) es diferente amigo porque el otro vendria a ser un caso más general en particular con \( k\leq{}3 \) llegaria a parecerse creo.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Insisto. Usando exactamente la misma idea que en el enlace que di. Puedes maximizar:

\(  x+2y+3z \) bajo la resticción \( x^2+y^2+z^2=\dfrac{2}{7} \)

 con \( x=sin(a),y=sin(b),z=sin(c). \)

 La condición:

\( x^2+y^2+z^2=\dfrac{2}{7} \)

 te garantiza que \( |x|,|y|,|z|\leq \sqrt{\dfrac{2}{7}}\leq 1 \), luego el problema que apuntas no se da.

Saludos.

P.D. El método de coquejj, es limpio, rápido y efectivo. 

[Alexito]

Por favor manco podrias enunciarmela la desigualdad de  Cauchy-Schwartz tal como es pero para nivel secundario y en que casos más o menos se aplica

Te agradesco tu atenta ayuda
saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Respecto al segundo, uno nota que:

 i) \( \dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{2^6} \) y el producto al que está igualado tiene \( 6 \) términos.

 ii) Si \( x=cos(A) \) entonces \( cos(2A)=2x^2-1 \), de manera que la sucesión:

\(  cos(A),cos(2A),cos(4A),cos(8A),... \)

 está definida por la relación recursiva:

\(  a_{n+1}=2a_n^2-1 \)

 iii) Los puntos fijos de esa relación son:

\(  y=2y^2-1\quad \Leftrightarrow{}\quad 2y^2-y-1=0\quad \Leftrightarrow{}\quad y=-\dfrac{1}{2}\mbox{ o }y=\dfrac{3}{2} \)

 iv) Además:

\(  Cos(2A)=1-2sin^2(A) \)

 donde si \( sin(A)=\pm \dfrac{1}{2} \) entonces \( cos(2A)=\dfrac{1}{2} \).

  Atando todo estos cabos, si tomamos:

\(  sin(10x)=\pm \dfrac{1}{2} \)

 tenemos:

\(  sin(10x)cos(20x)cos(40x)cos(80x)cos(160x)cos(320x)=\pm \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{(-2)^4}=\pm \dfrac{1}{2^6} \)

 Concluimos que:

\(  sin(10x)=-\dfrac{1}{2} \)

 resuelve nuestra ecuación.

 No es una solución plenamente satisfactoria. Pero es la historia de por donde iba mi cabeza y a donde llegó. 

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Es una propiedad del prodcuto escalar. Dados dos vectores \( \vec u,\vec v \) en un espacio vectorial euclídeo se tiene:

\(  |\vec u\cdot \vec v|\leq \|\vec u\|\|\vec v\| \)

 siendo \( \cdot  \) el producto escalar y \( \|\cdot \| \) la norma de un vector. La igualdad se alcanza sólo cuando los vectores son proporcionales.

 Es consecuencia (bueno, según y como nos cuenten las cosas) de lo siguiente, que si deberías de conocer:

\(  \vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|cos(\vec u,\vec v) \)

 Teniendo en cuenta que el coseno toma valores entre \( -1 \) y \( 1 \) tienes tu desigualdad.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Otra forma de resolver el segundo ejercicio es hacer uso de la identidad    \( \sen2\alpha=2\sen\alpha\cos\alpha \),   con este fin multiplicamos ambos miembros de la igualdad por \( 2^{6}\cos(10x) \) y obtenemos que

\( 2^{5}\cdot\underbrace{2\cos(10x)\sen(10x)}_{\sen(20x)}\cos(20x)\cos(40x)\cos(80x)\cos(160x)\cos(320)x= \)

\( =-\cos(10x) \)

 Y luego de hacer algunos cálculos evidentes obtenemos que

\( \sen(640x)=-\cos(10x)\Longleftrightarrow\sen(640x)=\sen\left(10x-\dfrac{\pi}{2}\right) \)

 Esta última es una ecuación sencilla de resolver, ten presente que posiblemente se ha agregado como soluciones adicioneas a las \( x \) que verifican que \( \cos(10x)=0 \), analiza este hecho con cuidado y concluye.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¡Mucho mejor, Braguildur!

Saludos.