[ToniGim]

Dada una elipse con semiejes \( a \), \( b \), se inscribe un círculo de radio \( R \) en el cuarto superior derecha. Este círculo es tangente a la elipse y a los ejes.
Se pide el valor de \( R \) en función de \( a \) y \( b \) así como las coordenadas del punto de tangencia con la elipse \( x_0, y_0 \).

[sugata]

Si la elipse estaá centrada en el origen, es obvio que los puntos de tangencia con los ejes son \( (0,R)\ y \ (R, 0) \)

[ToniGim]

El círculo está situado en el punto (R,R) tal y como se muestra en la figura.
Si sabemos responder a esta pregunta, la siguiente será el lugar geométrico por el centro del círculo hasta llegar al vértice

saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si \( (x,y) \) es el punto de tangencia se tiene que:

\(  \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \) (pertenece a la elipse)

\( (x-R)^2+(y-R)^2=R^2 \) (pertenencia a la circunferencia)

\( \dfrac{x/a^2}{x-R}=\dfrac{y/b^2}{y-R} \) (condición de tangencia: los normales a elipse y circunferencia son paralelos).

 Son tres ecuaciones y tres incógnitas; la cosa es que no se me ocurre una forma sencilla de resolverlas (no sé si la hay).

 Se puede tomar \( x-R=R\cdot cos(\alpha) \), \( y-R=R\cdot sin(\alpha) \) con lo cuál las ecuaciones quedarían:

\(  \dfrac{(1+cos(\alpha))^2}{a^2}+\dfrac{(1+sin(\alpha))^2}{b^2}=\dfrac{1}{R^2} \)

\( \dfrac{1+cos(\alpha)}{a^2\cdot cos(\alpha)}=\dfrac{1+sin(\alpha)}{b^2\cdot sin(\alpha)} \)

 Las incógnitas son ahora \( R \) y \( \alpha \). Y de hecho la segunda ecuación sólo tiene una incógnita. Pero no se si ayuda en algo.

Saludos.

[ToniGim]

Genial Luis, trabajaré tus ecuaciones
Saludos

[ToniGim]

Hola Luis, he tenido que revisar fórmulas de trigonometría y se puede poner la última fórmula que das en función del coseno del ángulo mitad.
No sé Latex así que te mando una foto. Sale algo bastante complicado.

[Abdulai]

Escribiendo en función de la tangente del ángulo mitad:

\( t = \tan\frac{\alpha}{2} \;\;\longrightarrow\;\; \sin\alpha = \dfrac{2t}{1+t^2}\quad,\quad\cos\alpha = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}  \)

\( \dfrac{1+\cos\alpha}{a^2 \cos\alpha} = \dfrac{1+\sin\alpha}{b^2 \sin\alpha} \;\;\longrightarrow\;\;\dfrac{2}{a^2(1-t^2)}=\dfrac{(1+t)^2}{2b^2 t} \)

Que termina en una elegante ecuación polinómica:  \( t^4+2t^3-2 q t-1 =0\quad,\quad q= 1-2\frac{b^2}{a^2} \)

Pero cuyas raíces no tienen nada de elegante.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+t%5E4%2B2t%5E3-2+q+t+-1+%3D0+++for+t   (clic en "exact forms")

[ToniGim]

Te pongo la fórmula

\( \dfrac{1+\frac{\sqrt[2]{1-\cos\frac{\alpha }{2}}}{2}}{1+\frac{\sqrt[2]{1+\cos\frac{\alpha }{2}}}{2}}=\dfrac{b^2}{a^2}\sqrt[2]{\dfrac{1-cos\frac{\alpha }{2}}{1+cos\frac{\alpha }{2}}} \)

[ancape]

Ahí va una hoja de Geogebra con la construcción. Es fácil una vez que se ha entendido la construcción del círculo en la elipse completa.

[Luis Fuentes]

Hola

Ahí va una hoja de Geogebra con la construcción. Es fácil una vez que se ha entendido la construcción del círculo en la elipse completa.

¿Pero ahí das la construcción de la circunferencia tangente al eje \( OX \), al eje \( OY \) y a la elipse (qué es lo que se busca)? ¿o la construcción de una circunferencia tangente al eje \( OX \) y a la elipse fijado el punto de tangencia en el eje \( OX \)?.

Saludos.