[ancape]

Hola

¿Pero ahí das la construcción de la circunferencia tangente al eje \( OX \), al eje \( OY \) y a la elipse (qué es lo que se busca)? ¿o la construcción de una circunferencia tangente al eje \( OX \) y a la elipse fijado el punto de tangencia en el eje \( OX \)?.

Saludos.

Sólo puede existir una circunferencia que sea tangente a la vez al eje OX al OY y a la elipse. Tal circunferencia es el primer fotograma de la construcción. Después, cuando sigue el movimiento, se construye una circunferencia que es tangente al eje OX y a la elipse (nunca los dos ejes y la elipse). La construcción de una circunferencia tangente al eje OX y la Elipse en un punto de OX dado es simplemente un fotograma de la construcción de TODAS las circunferencias.

En vista de que sólo hay un caso en que la circunferencia es tangente a los tres objetos, el resto de casos son:

Eje OY y Elipse--- Construcción análoga a la dada
Eje OX y OY -- Centro en la bisectriz

[ToniGim]

¡Vaya con la elipse¡
Llevo la función de cuarto grado que da Abdulai  a Geogebra, dibujo una elipse con a=8 y b=4  y se obtienen valores: uno que más o menos coincide (pero en el 2º cuadrante y otro que no sé interpretar.   
Saludos y gracias a todos

[Abdulai]

¡Vaya con la elipse¡
Llevo la función de cuarto grado que da Abdulai  a Geogebra, dibujo una elipse con a=8 y b=4  y se obtienen valores: uno que más o menos coincide (pero en el 2º cuadrante y otro que no sé interpretar...

Se ve que tuve un error con el polinomio, no coincide con lo que me tira un CAD 




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Momento... reviso y veo que revisé mal. 

\( a=8 \)  y \( b=4 \)   llevan a  \( t^4+2t^2-t-1 = 0 \)  cuya raíz positiva real es \( t = \dfrac{\displaystyle\sqrt{(2\sqrt 5 + 3)}-1}{2}  \approx 0.8667603991 \;\;\longrightarrow\;\;\alpha = 2 \arctan t \approx 81.83489994° \)
que coincide con el CAD.

[Luis Fuentes]

Hola

Sólo puede existir una circunferencia que sea tangente a la vez al eje OX al OY y a la elipse.

Si, eso está claro.

Tal circunferencia es el primer fotograma de la construcción.

Pero es no es lo que se busca. No se trata de que presentemos una animación o una construcción que depende de la elección de un punto \( C \) inicial (el deslizador) en la que por en medio y con una elección adecuada de ese deslizador aparezca la circunferencia particular que buscamos. La cosa en ese caso, es saber como construir el punto \( C \) para que la circunferencia obtenida sea tangente también al eje \( OY \) (además del eje \( OX \) y la elipse). O directamente dar la construcción del centro de tal circunferencia.

No digo que las ideas que se ilustran con la construcción que has presentado no puedan ayudar a dar la construcción que propone este ejercicio; pero falta algo más.

Saludos.

[ToniGim]

Hola Luis, fuiste tú quien acertadamente propusiste el cambio    \( x-R=\cos{\alpha} \)  y   \( x-R=\sin{\alpha} \).
Se supone que \( \alpha \) es el ángulo que en (R,R) forma el eje X con el punto de tangencia del círculo con la elipse.
Son los 81º del dibujo de Abdulai.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, fuiste tú quien acertadamente propusiste el cambio    \( x-R=\cos{\alpha} \)  y   \( x-R=\sin{\alpha} \).
Se supone que \( \alpha \) es el ángulo que en (R,R) forma el eje X con el punto de tangencia del círculo con la elipse.
Son los 81º del dibujo de Abdulai.
Saludos

Si, si. Si desde luego con las ecuaciones planteadas puede resolverse; pero si uno quiere hacerlo en función de \( a \) y \( b \) en general, las expresiones son horrorosas. Lo ideal sería una forma de aligerar eso. Pero no sé si la hay.

Saludos.

[ToniGim]

Buenas tardes:
Una vez solucionado el problema, ahora vamos a mover el circulo interno como se muestra en la fig



Ahora las ecuaciones son (si no me equivoco):

\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 \)
\( (x-L)^2 + (y - R)^2=R^2  \)
\( \dfrac{\frac{x}{a^2}}{x-L}=\dfrac{\frac{y}{b^2}}{x-R}  \)

pero ahora no se puede hacer los cambios propuestos por Luis Fuentes
saludos

[ancape]

Adjunto hoja de Geogebra que da la construcción del primer fotograma de la hoja que publiqué anteriormente, esto es, la circunferencia que es tangente a la elipse y los ejes de ésta.
Observar la similitud de este problema con el de Apolonio CRR 'Circunferencia tangente a dos rectas y un círculo dados'. Probablemente se pueda hacer la construcción, tanto la fija como la de la circunferencia móvil, para toda cónica y todo par de rectas. Seguiré pensando en este problema.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes:
Una vez solucionado el problema, ahora vamos a mover el circulo interno como se muestra en la fig



Ahora las ecuaciones son (si no me equivoco):

\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 \)
\( (x-L)^2 + (y - R)^2=R^2  \)
\( \dfrac{\frac{x}{a^2}}{x-L}=\dfrac{\frac{y}{b^2}}{x-R}  \)

pero ahora no se puede hacer los cambios propuestos por Luis Fuentes
saludos

Tengo algo de prisa ahora. Es la construcción que ha hecho ancape. Si no me equivoco daría:

\( x=\dfrac{\color{red}a^2\cdot d\color{black}}{a^2-b^2} \)

\( y=\dfrac{b\sqrt{(a^2-b^2)^2-a^2d^2}}{a^2-b^2} \)

\( \color{red}\cancel{R=\dfrac{a^2 d-b \sqrt{(a^2-b^2)^2-a^2 d^2}}{a^2-b^2}}\color{red} \)

OJO. Esto no es del todo correcto. Esa d que pongo ahí no es la distancia del centro al eje \( OY \), sino la abcisa del punto de corte de la normal a la elipse por el punto de tangencia con el eje \( OX \).

Saludos.

CORREGIDO

[Luis Fuentes]

Hola

Adjunto hoja de Geogebra que da la construcción del primer fotograma de la hoja que publiqué anteriormente, esto es, la circunferencia que es tangente a la elipse y los ejes de ésta.
Observar la similitud de este problema con el de Apolonio CRR 'Circunferencia tangente a dos rectas y un círculo dados'. Probablemente se pueda hacer la construcción, tanto la fija como la de la circunferencia móvil, para toda cónica y todo par de rectas. Seguiré pensando en este problema.

Tengo que mirarlo con un poco más de calma, pero... ¡creo qué ahora si!. 

AÑADIDO. Pues NO, no está bien. Lo aclaro más adelante.

Saludos.