Sea f:[a,b] -> R continua tal que existe F:[a,b] -> R que cumple que F(y) - F(x) >= (y - x)f(x) para todo x,y en [a,b]. Probar que:
a) f es creciente:
Sean x < y, entonces tenemos que (1) F(y) - F(x) >= (y - x)f(x), cambiando x por y tenemos que F(x) - F(y) >= (x - y)f(y). Multiplicando esta ultima desigualdad por -1 nos queda, (2) F(y) - F(x) <= (y - x)f(y). Que junto con la primera nos dice que (y - x)f(x) <= F(y) - F(x) <= (y - x)f(y), dividiendo ahora por y - x tenemos lo que nos piden.
b) F es convexa:
Sea x < y, basta ver que F((x+y)/2) <= F(x) / 2 + F(y)/2. Usamos las desigualdades anteriores con x < (x+y)/ 2 < y. Primero usando que x < (x+y)/2 tenemos que usando (2) F((x+y)/2) - F(x) <= (y - x)f((x+y)/2)/2. Ahora usando que (x+y)/2 < y, de (1) tenemos F(y) - F((x+y)/2) >= (y - x)f((x+y)/2)/2. De estas ultima desigualdades nos queda que F((x+y)/2) - F(x) <= F(y) - F((x+y)/2), que es lo que queriamos ver.
No termine los demas. Ahora una duda que me carcome: no veo donde use la hipotesis de que f sea continua (si es que la use). Si no la hubiera usado entonces fijense que de todos modos F si es continua.
