Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Problemas y Desafíos => Problema del mes => Mensaje iniciado por: xhant en 05 Julio, 2004, 03:32 am

Título: Problema de Junio de 2004
Publicado por: xhant en 05 Julio, 2004, 03:32 am
Sea f:[a,b] -> R continua tal que existe F:[a,b] -> R que cumple que F(y) - F(x) >= (y - x)f(x) para todo x,y en [a,b]. Probar que:

a) f es creciente:

Sean x < y, entonces tenemos que (1) F(y) - F(x) >= (y - x)f(x), cambiando x por y tenemos que F(x) - F(y) >= (x - y)f(y). Multiplicando esta ultima desigualdad por -1 nos queda, (2) F(y) - F(x) <= (y - x)f(y). Que junto con la primera nos dice que (y - x)f(x) <= F(y) - F(x) <= (y - x)f(y), dividiendo ahora por y - x tenemos lo que nos piden.

b) F es convexa:

Sea x < y, basta ver que F((x+y)/2) <= F(x) / 2 + F(y)/2. Usamos las desigualdades anteriores con x < (x+y)/ 2 < y. Primero usando que x < (x+y)/2 tenemos que usando (2) F((x+y)/2) - F(x) <= (y - x)f((x+y)/2)/2. Ahora usando que (x+y)/2 < y, de (1) tenemos F(y) - F((x+y)/2) >= (y - x)f((x+y)/2)/2. De estas ultima desigualdades nos queda que F((x+y)/2) - F(x) <= F(y) - F((x+y)/2), que es lo que queriamos ver.

No termine los demas. Ahora una duda que me carcome: no veo donde use la hipotesis de que f sea continua (si es que la use). Si no la hubiera usado entonces fijense que de todos modos F si es continua.
Título: Re:Problema de Junio de 2004
Publicado por: gaboth en 05 Julio, 2004, 05:42 am
Hola xhantt, en el archivo adjunto está la solución que propongo para el problema y la verdad es que en la única parte que necesite la continuidad de f fue en la última donde use que por ser continua es riemann integrable.
  Espero que le guste el formato del archivo, aproveche que estoy aprendiendo LaTex para escribir la solución. Cualquier cosa por favor escriban.

Chau