Profesor Carlos Ivorra, gracias por sus comentarios todo parte del pdf que adjunte al inicio del pots, en el cual pretendo mostrar como es conveniente asumir que \( 0^0=1 \) en cualquier campo o en la mayoría de los campos de la matemática,
Tú lo has dicho: es conveniente. Estoy completamente de acuerdo, siempre y cuando entendamos que se trata de un convenio útil, no de algo que pueda demostrarse como inevitablemente cierto. Más claramente: uno es libre de decir:
Adoptamos el convenio de que \( 0^0 = 1 \) y entonces
\( \displaystyle (a+b)^n = \sum_{i=0}^n \displaystyle\binom{n}{i}a^i b^{n-i} \)
o bien:
No adoptamos el convenio de que \( 0^0 = 1 \) y entonces
\( \displaystyle (a+b)^n = a^n+ b^n+\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\binom{n}{i}a^i b^{n-i} \)Obviamente, lo primero es mucho más práctico que lo segundo.
y de que al decir que \( 0^0 \) es indeterminado o lleba a una indeterminación no tiene justificación solida, y es un mito mal infundado de una forma indeterminada de límites que se mal interpreta, simplemente en otras ramas no se define \( 0^0 \) que pienso es algo muy distinto a decir que es indeterminado.
Totalmente de acuerdo. Como he dicho antes, lo único que prueban los argumentos con límites es que la función \( x^y \) no es continua en el punto \( (0,0) \), y de todos es sabido que los límites de una función discontinua en un punto no aportan ninguna información sobre el valor de la función en el punto.
Para argumentar la convención los argumentos se basan en la cardinalidad conjuntista y en el teorema del binomio, y aún mas ahora con lo de las series de Taylor(que añadiré al artículo).
Y también tienes el caso de la evaluación de polinomios de varias variables, como
\( \displaystyle F(x_1,\ldots, x_n) = \sum_{i_1,\ldots, i_n}a_{i_1,\ldots, i_n}X^{i_1}\cdots X^{i_n} \)
Para dar sentido a expresiones como ésta para polinomios, es imprescindible convenir que \( X^0 =1 \) (donde \( X \) es una indeterminada) y que esta relación se mantiene al sustituir \( X \) por cualquier valor, incluido 0.
Creo que todo el debate surge al ser un poco autoritario y dictatorio en el articulo adjunto, en decir que \( 0^0=1 \) y depronto debo ser más flexible en mi posición y mostrar que este convenio como usted lo menciona funcionaria sin problemas en las demas ramas.
Tu artículo no me ha parecido autoritario, pero en general me ha dado una impresión parecida al debate en este foro: veo obviamente qué sostienes más o menos, pero no sabría concretarlo con total exactitud. ¿Estás afirmando que \( 0^0=1 \) puede demostrarse (fuera del contexto de los cardinales) o lo defiendes como un convenio útil y, por supuesto, consistente?
Por ejemplo, me choca cuando hablas de "la segunda demostración" en la página 5. La "demostración" lo que hace es poner en evidencia que el enunciado usual del binomio de Newton supone necesariamente el convenio de que \( 0^0 =1 \). No me parece adecuado llamarlo "segunda demostración", sino más bien, "ejemplo incuestionable de que el convenio se usa, de hecho, cada vez que se enuncia el teorema del binomio en la forma usual".
Por otro lado le agradezco profesor Carlos que lea el artículo y me haga las observaciones pertinentes, como ya lo hizo argentinator quien junto con usted me muestra que estoy siendo poco o en lo absoluto flexible con mi posición.
Ya me lo había leído antes de escribir mi primer mensaje en este hilo. Todo lo que dices, tal vez excepto alguna frase que me resulta equívoca sobre el alcance que pretendes dar a tus afirmaciones (como la que he comentado) me parece razonable. Desde luego, me parece absurdo que se califique de "error garrafal" un inocente "recordemos que \( 0^0 = 1 \)".
