Autor Tema: Número 1 (2012) - 5. Demostración 0^0=1.

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27 Mayo, 2012, 03:01 am
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kike0001

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Este artículo se escribe debido al mal uso que se le da a la expresión \( 0^{0} \). En ocasiones a la pregunta a qué es igual, o cuanto es \( 0^{0} \), se debe ser cuidadoso al responder, mejor aún se debe ser específico al preguntar.

Antes que nada en esta parte se pretende dar respuesta a la pregunta a qué es igual el número natural cero elevado al número natural cero, que representado simbólicamente es \( 0^{0} \), que desde una mirada conjuntista en  cardinalidad es 1, pero que además este hecho es también evidenciado en  el teorema del Binomio.

saludos

Asdrúbal Beltrán

Modificación: Añadí (27-05-2012) al artículo, la sección: "El teorema del Binomio, La MAA y Donald Knuth"
saludos

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28 Mayo, 2012, 04:52 am
Respuesta #1

argentinator

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Hola.

Contesto acá, pero se puede dividir el hilo en un apartado distinto para seguir la discusión, tal como se indica en las normas de la Revista.

En el foro y en todas partes se ha discutido mucho sobre el asunto del \( 0^0 \).

Todo depende de qué está haciendo uno.

Si uno hace álgebra, y desea que las leyes algebraicas se cumplan en todos los casos, entonces lo del \( 0^0 \) queda indeterminado, porque:

\( 0^b=0 \) para \( b>  0 \),
\( a^0=1 \) para \( a\neq 0 \),
y entonces ¿qué pasa cuando \( a=b=0 \)? ¿Sigo la regla de arriba o la de abajo?

Como así no más no puedo decidir, me voy por ejemplo a las reglas de los exponentes:

\( a^{b-c}=\dfrac{a^b}{a^c} \).

Sin salirnos de los números naturales, esa regla habría de ser cierta siempre, por ejemplo, para \( b\geq c \), puesto que ahí el resultado nos da de nuevo un número natural.

Así que \( a^{b-b}=\dfrac{a^b}{a^b}=1 \), siempre y cuando \( a\neq 0 \).
Pero si \( a=0 \), obtenemos que

\( 0^0=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b} \)

Acá hay dos posibilidades, o bien \( b\neq 0 \) o bien \( b=0 \).
Supongamos que \( 0^0=1 \). En ese caso:

\( 1=0^{0-0}=\dfrac{0^0} {0^0} =\dfrac11=1. \)

Pero si \( b\neq 0, \) entonces:

\( 1=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b}=\dfrac00, \)

que está indeterminado.

Consideraciones similares muestran que \( 0^0 \) no podría tomar otro valor, así que habría de quedar indeterminado.

____

Otro cálculo:

\( 0^0=0^{b\cdot 0}=(0^0)^b. \)

Esto muestra que \( 0^0 \) deber ser obligadamente \( 0 \) ó \( 1 \).

____________________

Por otra parte, cuando se usa \( 0^0=1 \) en la teoría de cardinales de conjuntos, está correcto.
En teoría de conjuntos eso es lo que tiene que dar.

Y entonces no sorprende que en el binomio de Newton aparezca de nuevo el uso de \( 0^0=1 \), porque ahí, si trabajamos sólo con números naturales, lo que tenemos es un resultado de conteo.

En efecto, el número \( (x+y)^n \) tiene que designar el cardinal de un conjunto de funciones con dominio \( A \), \( cardinal(A)=n \), y con imagen un conjunto \( B \) con \( cardinal(B)=x+y \).
Así que no tiene que sorprendernos que aparezca el \( 0^0=1 \) en este desarrollo.

______________

Pero la "definición" de número natural como cardinal de un conjunto no es necesariamente la definición matemática de número natural.

En realidad no pueden tomarse como definición, porque tienen propiedades extra-algebraicas.
Por ejemplo, \( 2=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\} \) tiene la propiedad de que \( 1\in 2 \), pues \( 1=\{\emptyset \} \).

Eso, desde un punto de vista aritmético no tiene ningún sentido.

La definición de número natural es axiomática, por ejemplo, mediante los axiomas de Peano.

Luego, cualquier objeto matemático que cumpla esos axiomas puede considerarse un sistema de números naturales.
No hay razón alguna para excluir otros objetos matemáticos con las mismas propiedades.

De hecho, cuando uno usa algo como \( \mathbb N\subset \mathbb Q \), es claro que ése \( \mathbb N \) no son los mismos números naturales de la teoría de conjuntos.


Quiero decir, estás considerando la versión constructiva de los números naturales,
pero al hacer eso, ¿qué pasa con los demás sistemas de números?
¿También se aceptan de forma constructiva?

En ese caso, la construcción de \( \mathbb Q  \) a partir de \( \mathbb N \) tiene sus vueltas, y el resultado final es un sistema que tiene como subconjunto a un conjunto \( N \) que tiene "las mismas propiedades que los números naturales".

Y yo pregunto, ¿cuáles son "esas" mismas propiedades que tiene N respecto \( \mathbb N \)?

Ciertamente, la propiedad \( 1\in 2 \) no la tienen los naturales del susbsistema N de \( \mathbb Q \).

Para evitar ambigüedades sobre qué es un número y qué no lo es, no queda más remedio que recurrir a una definición axiomática de número natural, y entonces la interpretación que has hecho sobre números como cardinales deja de ser obligatoria.

__________________

Es más, en teoría de conjuntos podemos pensar en números ordinales, es decir, ciertos objetos que indican o se identifican con conjuntos bien ordenados.

En dicha teoría también hay operaciones aritméticas de suma, producto, exponente, y da la casualidad que, cuando se las restringe a los ordinales finitos, coinciden los resultados aritméticos con los usuales.

Por ejemplo, si sumo los ordinales 2 y 3, obtengo el ordinal 5.

La pregunta aquí sería, ¿cuál es la potencia de ordinales?

Si \( \alpha ,\beta  \) son dos números ordinales, su producto ordinal \( \alpha \beta  \) es el ordinal cuyo tipo de orden coincide con el del producto cartesiano \( A\times B \), dotado del orden de diccionario, donde \( A \) tiene tipo de orden \( \alpha  \) y \( B \) tiene tipo de orden \( \beta  \).

Luego, la potencia ordinal se define recursivamente:

\( \alpha ^n=(\alpha ^{n-1})\alpha  \), para \( n=2,3,... \)
mientras que \( \alpha ^1=\alpha  \) por definición.

Acá caben dos preguntas:

¿Cuánto es \( \alpha ^0 \) como ordinal? ¿Y cuánto es \( 0^\beta  \) como ordinal?

Esto no puede ser más que una convención.

En el caso de \( 0^\beta =0 \), cuando \( \beta \geq 1 \).

Pero aquí no tiene mucho sentido definir el ordinal \( \alpha ^0 \).
¿Cuánto tiene que dar esa operación, para ordinales, y qué representa?

En general se define \( \alpha ^0=1 \), pero eso se hace sólo con la intención de que ser verifiquen las leyes de los exponentes para potenciación de ordinales.

O sea que hay una intención algebraica detrás, y no una justificación sobre hechos concretos,
tal como los que expusiste sobre cardinales de funciones de conjuntos finitos, que eso sí tiene un sentido claro.

Y entonces, aquí de nuevo tenemos los mismos problemas para definir \( 0^0 \) que en el caso del planteo algebraico, porque uno da prioridad con su intención a las leyes de los exponentes, que conducen a un callejón sin salida.




28 Mayo, 2012, 05:51 am
Respuesta #2

kike0001

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Hola.

.....
Todo depende de qué está haciendo uno.

Si uno hace álgebra, y desea que las leyes algebraicas se cumplan en todos los casos, entonces lo del \( 0^0 \) queda indeterminado, porque:

\( 0^b=0 \) para \( b>  0 \),
\( a^0=1 \) para \( a\neq 0 \),
y entonces ¿qué pasa cuando \( a=b=0 \)? ¿Sigo la regla de arriba o la de abajo?


Gracias por sus comentarios argentinator, precisamente en el artículo según los autores y textos citados se justifica que al tomar la segunda regla para todo \( a \), y dejando la primera regla tal cual, y todas las demás reglas de los exponentes como son, no se ha de llegar a contradicción o indeterminación  alguna, ni en teoria de conjuntos, algebra ni análisis. Pero si aún despues de esto  no la he notado (la indeterminación que surge)  le agradezco me la haga saber.

שְׁמַ֖ע  יִשְׂרָאֵ֑ל  יְהוָ֥ה  אֱלֹהֵ֖ינוּ  יְהוָ֥ה  אֶחָֽד

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28 Mayo, 2012, 06:10 am
Respuesta #3

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Hola.

....\( a^{b-c}=\dfrac{a^b}{a^c} \).

Sin salirnos de los números naturales, esa regla habría de ser cierta siempre, por ejemplo, para \( b\geq c \), puesto que ahí el resultado nos da de nuevo un número natural.

Así que \( a^{b-b}=\dfrac{a^b}{a^b}=1 \), siempre y cuando \( \red a\neq 0 \)
Pero si \( a=0 \), obtenemos que

\( 0^0=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b} \)

Acá hay dos posibilidades, o bien \( b\neq 0 \) o bien \( b=0 \).
Supongamos que \( 0^0=1 \). En ese caso:

\( 1=0^{0-0}=\dfrac{0^0} {0^0} =\dfrac11=1. \)

Pero si \( b\neq 0, \) entonces:

\( 1=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b}=\dfrac00, \)

que está indeterminado.

Consideraciones similares muestran que \( 0^0 \) no podría tomar otro valor, así que habría de quedar indeterminado.

____

Otro cálculo:

\( 0^0=0^{b\cdot 0}=(0^0)^b. \)

Esto muestra que \( 0^0 \) deber ser obligadamente \( 0 \) ó \( 1 \).

____________________

.....



Si asumimos La segunda regla para todo \( a \) dejando tal cual las demás,como usted muy bien lo afirma en la primera propiedad de los exponentes, tal se aplica si \( a\neq{0} \), por ende lo que se usted argumenta en los dos casos está incumpliendo tal condición.




 Asumiendo \( 0^0=1 \) el otro calculo no contendría contradicción alguna pues sin importar quien sea \( b \) el resultado es 1

\( 0^0=0^{b\cdot 0}=(0^0)^b=1 \)


Por otro lado ¿el Teorema el binomio de Newton solamente es aplicado en conteo y conjuntos?
que explicación da usted a que cientos de libros de algebra y analisis lo utilicen sin hacer la salvedad del \( 0^0 \)
saludos
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28 Mayo, 2012, 06:40 am
Respuesta #4

argentinator

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No tengo que dar ninguna explicaciòn de eso, es una simple convención que sólo sirve para el binomio de Newton.

Se trata de una abreviatura que hace falta para no andar haciendo salvedades.

El uso de cientos de libros no hace que algo se vuelva verdadero.
Antes de Newton había cientos de libros que afirmaban que las leyes de la relatividad eran las de Galileo, y sin embargo eso no vuelve cierta esa teoría de la relatividad.

Creo que el error está en querer establecer a la fuerza una definición de \( 0^0 \) que sólo sirve para los cardinales de conjuntos y para el binomio de Newton (y también, de paso, para la notación de una serie de Taylor).

Pero en álgebra eso no es cierto.
¿Por qué descartar las propiedades algebraicas cuando la base del exponente es \( a=0 \)?
Eso es una decisión arbitraria, y es tan arbitraria como elegir que \( 0^0=1 \).

______________

Citar
precisamente en el artículo según los autores y textos citados se justifica que al tomar la segunda regla para todo , y dejando la primera regla tal cual, y todas las demás reglas de los exponentes como son, no se ha de llegar a contradicción o indeterminación  alguna, ni en teoria de conjuntos, algebra ni análisis. Pero si aún despues de esto  no la he notado (la indeterminación que surge)  le agradezco me la haga saber.

No entiendo este último requerimiento, ni las salvedades previas.

En realidad, si evitamos el caso \( a=0 \), no aparecen contradicciones en ninguna parte, pero es que \( a=0 \) es más común que aparezca en forma natural que un exponente 0.

En álgebra las contradicciones aparecen cuando se intenta dar un valor "unívoco" a las expresiones, y que además se satisfagan las reglas de los exponentes.
Y en análisis \( 0^0 \) forzosamente ha de considerarse indeterminado, porque los límites de ese tipo dan resultados siempre distintos, no dan todos ellos "1".


28 Mayo, 2012, 07:06 am
Respuesta #5

kike0001

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No tengo que dar ninguna explicaciòn de eso, es una simple convención que sólo sirve para el binomio de Newton.

Se trata de una abreviatura que hace falta para no andar haciendo salvedades.

El uso de cientos de libros no hace que algo se vuelva verdadero.
Antes de Newton había cientos de libros que afirmaban que las leyes de la relatividad eran las de Galileo, y sin embargo eso no vuelve cierta esa teoría de la relatividad.

Creo que el error está en querer establecer a la fuerza una definición de \( 0^0 \) que sólo sirve para los cardinales de conjuntos y para el binomio de Newton (y también, de paso, para la notación de una serie de Taylor).

Pero en álgebra eso no es cierto.
¿Por qué descartar las propiedades algebraicas cuando la base del exponente es \( a=0 \)?
Eso es una decisión arbitraria, y es tan arbitraria como elegir que \( 0^0=1 \).

______________

Citar
precisamente en el artículo según los autores y textos citados se justifica que al tomar la segunda regla para todo , y dejando la primera regla tal cual, y todas las demás reglas de los exponentes como son, no se ha de llegar a contradicción o indeterminación  alguna, ni en teoria de conjuntos, algebra ni análisis. Pero si aún despues de esto  no la he notado (la indeterminación que surge)  le agradezco me la haga saber.

No entiendo este último requerimiento, ni las salvedades previas.

En realidad, si evitamos el caso \( a=0 \), no aparecen contradicciones en ninguna parte, pero es que \( a=0 \) es más común que aparezca en forma natural que un exponente 0.

En álgebra las contradicciones aparecen cuando se intenta dar un valor "unívoco" a las expresiones, y que además se satisfagan las reglas de los exponentes.
Y en análisis \( 0^0 \) forzosamente ha de considerarse indeterminado, porque los límites de ese tipo dan resultados siempre distintos, no dan todos ellos "1".



Pero si las mismas propiedades de los exponentes donde se involucran exponentes négativos  se toman con \( a\neq{0} \), aquí no se estaría cambiando nada en lo absoluto, simplemente se puede cambiar la propiedad 2 que usted muestra al inicio, como repito sin que surjan inconsistencias en la teoria.

¿ahora bien usted afirma que si se asume \( 0^0=1  \) si  hay contradicciones en el a´lgebra yo espero que la muestre?

Por otro lado la forma indeterminada \( 0^0 \) en los libros se utiliza como el símbolo que representa los límites de funciones de la forma \( f(x)^{g(x)} \) donde \( f(x)\rightarrow{0} \) y \( g(x)\rightarrow{0} \) cuando se tiende a algún \( x=a \), diferente es decir que \( 0^0 \), es indeterminado, como lo pretende usted hacer como un  número a partir de los exponentes,  pues en este caso es un límite y allí no se está asumiendo nunca este valor, además como lo puede usted notar se toman la base y el exponente independientes pero nunca se asume que la potencia  \( f(x)^{g(x)}\rightarrow{0^0} \). Por ende aquí no existiría contradicción alguna.

Por otro lado el hecho de que cientos de libros utilicen el teorema de Newton en sus calculos e implicitamente el hecho de que \( 0^0=1 \), es por que ello no lleba a contradicciones, pues en la mayoría simplemente no se define y algo sin definir no es contradiccón, diferente a que estos mismos en su teoría estipulen que es indeterminado, pero hasta el momento ningun libro argumenta tal posición, de indeterminación.

Y lo que se pretende como se explica en el artículo aunque depronto un poco imponente el titulo y dictatorio es mostrar que \( 0^0=1 \) es consistente en terminos conjuntistas y de conteo, en dichas teorias se puede demostrar este hecho, y se sugiere que puede ser adoptado por las demas ramas sin dificultades, en contraste  las demas ramas  no lo adoptan ni lo refutan, lo anterior personalmente me lleba a  asumir que \( 0^0=1 \), pues existe una rama que lo demuestra y se muestra que no les vendría mal a las demas en asumirlo, esto sin negar que las otras ramas funcionan a la perfección sin asumir tal.


saludos

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28 Mayo, 2012, 07:13 am
Respuesta #6

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¿ahora bien usted afirma que si se asume \( 0^0=1  \) si  hay contradicciones en el a´lgebra yo espero que la muestre?

Ya la mostré:



Así que \( a^{b-b}=\dfrac{a^b}{a^b}=1 \), siempre y cuando \( a\neq 0 \).
Pero si \( a=0 \), obtenemos que

\( 0^0=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b} \)

Acá hay dos posibilidades, o bien \( b\neq 0 \) o bien \( b=0 \).
Supongamos que \( 0^0=1 \). En ese caso:

\( 1=0^{0-0}=\dfrac{0^0} {0^0} =\dfrac11=1. \)

Pero si \( b\neq 0, \) entonces:

\( 1=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b}=\dfrac00, \)

que está indeterminado.

 

Ahí usé el hecho de que \( 0^b=0 \) para \( b\neq 0 \), que es algo en lo que estamos de acuerdo.

28 Mayo, 2012, 07:20 am
Respuesta #7

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¿ahora bien usted afirma que si se asume \( 0^0=1  \) si  hay contradicciones en el a´lgebra yo espero que la muestre?

Ya la mostré:



Así que \( a^{b-b}=\dfrac{a^b}{a^b}=1 \), siempre y cuando \( a\neq 0 \).
Pero si \( a=0 \), obtenemos que

\( 0^0=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b} \)

Acá hay dos posibilidades, o bien \( b\neq 0 \) o bien \( b=0 \).
Supongamos que \( 0^0=1 \). En ese caso:

\( 1=0^{0-0}=\dfrac{0^0} {0^0} =\dfrac11=1. \)

Pero si \( b\neq 0, \) entonces:

\( 1=0^{b-b}=\dfrac{0^b}{0^b}=\dfrac00, \)

que está indeterminado.

 

Ahí usé el hecho de que \( 0^b=0 \) para \( b\neq 0 \), que es algo en lo que estamos de acuerdo.

Si pero también uso el hecho    que a=0 y como usted palntea en la misma, esta se utiliza si \( \red a\neq{0}, \) o con su mismo argumento si pasamos por alto lo de que en dichas propiedades la base debe ser distinta de cero entonces tambien se puede argumentar que

\( 0^2=0^{(5-3)}=\displaystyle\frac{0^5}{0^3}=\displaystyle\frac{0}{0} \) que es indeterminado.

Me explico mejor la propiedad que usted cita no llebará a contradicción alguna pues ella no se utilizará en el caso en que \( a=0 \)
 y sus contradicciones surgen precisamente de suponerlo.

saludos
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28 Mayo, 2012, 07:32 am
Respuesta #8

argentinator

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Si pero también uso el hecho    que a=0 y como usted palntea en la misma, esta se utiliza si \( \red a\neq{0}, \) o con su mismo argumento si pasamos por alto lo de que en dichas propiedades la base debe ser distinta de cero entonces tambien se puede argumentar que

\( 0^2=0^{(5-3)}=\displaystyle\frac{0^5}{0^3}=\displaystyle\frac{0}{0} \) que es indeterminado.



¡Noooo! ¡Destrozaste mi argumento!

Y bueno, qué sé yo.


28 Mayo, 2012, 09:17 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Hola. He estado leyendo el debate y la verdad es que no acabo de hacerme una idea exacta de qué está defendiendo cada cual, así que no cuestionaré nada a nadie, pues no estoy seguro de a cuál de los dos tendría que cuestionárselo, sino que resumiré lo que pienso yo, por si le interesa a alguien:

Creo que estamos de acuerdo en que hay una definición natural de exponenciación de cardinales respecto a la cual se demuestra que \( 0^0=1 \). No sé si hay acuerdo en que, salvo en este caso, el valor que se le quiera asignar a \( 0^0 \), incluso el hecho de que se le quiera asignar un valor en lugar de dejarlo indefinido, es cuestión de convenio, de tal modo que tan absurdo es decir "quien afirma que \( 0^0\neq 1 \) se equivoca", como lo es decir "quien afirma que \( 0^0=1 \) se equivoca".

Tratándose de un convenio, no tiene sentido plantearse cuál es el convenio correcto, sino únicamente cuál es el convenio más conveniente, valga la casi-redundancia. A lo sumo, habría que justificar que el convenio adoptado no sea contradictorio.

Debo decir que sólo se me ocurre un contexto en el que considerar \( 0^0 = 0 \) es ligeramente más conveniente que considerar \( 0^0 =1 \), y es la exponenciación de ordinales, aunque no creo que merezca la pena entrar en detalles de este caso. Excluido éste, creo que en cualquier contexto imaginable, convenir que \( 0^0=1 \) tiene todas las ventajas y ningún inconveniente (y, por supuesto, es totalmente coherente).
Por decir algo un poco más objetivo: creo que si leemos cualquier texto de matemáticas riguroso y en un momento dado para seguir sus cálculos nos vemos obligados a evaluar \( 0^0 \), podemos jugarnos el cuello a que el autor da por hecho que entenderemos que \( 0^0 = 1 \). Si no fuera así, lo advertiría.

Se ha reconocido aquí que el convenio es necesario para interpretar correctamente la fórmula del binomio de Newton, aunque yo añadiría que ésta es válida en un anillo conmutativo cualquiera, y en este contexto general no está relacionada con los cardinales o la combinatoria. También se ha nombrado las series de Taylor. En efecto, si definimos

\( \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} \),

entonces para concluir de esta definición que \( e^0 = 1 \) debemos pasar por que \( 0^0 = 1 \).

Más en general, en cualquier anillo se conviene en que \( a^0 = 1 \), para todo elemento \( a \) del anillo, y esto vale en particular para un anillo de polinomios \( A[X] \) y su indeterminada, de modo que \( X^0 = 1 \) (como igualdad de polinomios), y la gracia de esta igualdad consiste en parte en que se respeta si sustituimos \( X \) por cualquier valor, incluso \( 0 \), o de lo contrario tendríamos problemas cada vez que hablamos de un polinomio cualquiera \( p(X) \) y consideramos \( p(0) \).

El hecho de que \( 0^0 \) sea una indeterminación en análisis, es decir, que al elevar una función o sucesión a otra, donde ambas tienden a cero, el resultado puede comportarse de cualquier forma, no dice nada sobre cómo podemos (o no podemos o debemos o no debemos) definir \( 0^0 \). Lo único que dice es que la función de dos variables \( x^y \) no es continua en el punto \( (0,0) \) y, precisamente porque es imposible hacerla continua, tenemos libertad para definir \( 0^0 \) como convenga, con la tranquilidad de que, hagamos lo que hagamos, la exponencial doble no será continua.

Según cómo definamos \( 0^0 \) haremos que se comporte bien la función potencial \( x^a \) cuando \( a=0 \) o la función exponencial \( a^x \) cuando \( a=0 \), pero sucede que las funciones \( x^a \) aparecen en mil sitios, desde el binomio de Newton hasta las series de potencias, mientras que las funciones exponenciales \( a^x \) son totalmente inútiles cuando \( a<0 \), y nada se pierde por unir al grupo de funciones inútiles el caso \( a=0 \).

El hecho de que surjan paradojas cuando se usan alegremente las propiedades y los convenios no es un argumento en su contra, sino en contra de usar alegremente las propiedades. Uno puede decir que

\( 2 = \sqrt 4 = \sqrt{(-2)^2} = -2 \)

y con ello no ha demostrado la inconsistencia de la raíz cuadrada, sino únicamente que no se puede jugar de cualquier modo con las raíces cuadradas. Lo mismo con \( 0^0 = 1 \). Una vez adoptado este convenio, las propiedades de las potencias y exponenciales valen cuando valen y no valen cuando no valen. Y, como en todo, está feo usar una propiedad cuando no vale.

En resumen, mi opinión es que suponer \( 0^0 = 1 \) salvo que, por razones muy concretas, en un contexto muy concreto, convenga suponer otra cosa, es, además de una práctica comúnmente extendida, un convenio muy provechoso, a la par de \( 0! = 1 \) y otros parecidos.