Hombre, feriva... No es que dé una aproximación muy mala, es que es horrible. Lo mínimo que habría que pedir a una aproximación para el número de primos menores que uno dado, para que tenga sentido usarla para hacer cuentas de este tipo, es que tenga el comportamiento asintótico correcto. Pero asintóticamente sabemos que \( \pi(n) \) va como \( n/\log(n) \), y en cambio la que propones va como \( \log(n) \).
Esto quiere decir que cuando hagas cálculos para \( n \) grande vas a cometer un error enorme, tanto más cuanto más grande sea \( n \). De manera que es mejor no usar esto para sacar conclusiones sobre el comportamiento asintótico.
Pero es que además, tampoco tiene sentido usar \( \log(n)/\log(2) \) como aproximación a \( \pi(n) \) cuando tienes una expresión igual de sencilla y que tiene el comportamiento asintótico correcto: \( n/\log(n) \).
