Saludos. estaba intentando probar lo siguiente: Dada una variedad riemanniana \( (M,g) \), \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) un abierto coordenado de \( M \) y \( p_0,p_1\in U \) ver que
\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}g_{i,j}\dot{x}^i\dot{x}^j} \)
No depende de la parametrización. Para ello hice el los cambios de coordenadas de
\( g_{i,j}=\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}g'_{kl}\frac{\partial y^l}{\partial x^j} \)
donde \( y^1,\ldots,y^n \) son las nuevas coordenadas. \( g'_{kl} \) es la métrica en estas nuevas coordenadas y
\( \frac{dx^i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\dot{y}^k \)
\( \frac{dx^j}{dt}=\sum_{l=1}^{n}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\dot{y}^l \)
Juntando todo ello obtengo
\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j,k,l=1}^{n}\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\right)\left(\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\right)g'_{kl}\dot{y}^k\dot{y}^l} \)
La principal pregunta es si lo que coloqué dentro de los parentesis se hace 1 y por que. Sino ocurre ¿Como podría seguir para probar que esa integral no depende de las coordenadas que escojamos?
La otra pregunta que quería hacerles es acerca de esa frase "no depende de la parametrización". En casi todos los ejemplos que he visto siempre aparece la matriz Jacobiana del cambio de cartas (de ser verdad lo que puse en el párrafo anterior este sería el primer caso que recuerdo que no ocurre esto). Realmente en esos casos lo que he visto es que las propiedades si cambian al cambiar la parametrización pero lo hacen de una manera muy especifica. Mi pregunta es ¿Siempre es posible escoger las nuevas coordenadas de manera tal que el determinante de la matriz Jacobiana del cambio de cartas se igual a 1? ¿A que se debe que yo siempre pueda "despreciar" este cambio al cambiar de coordenadas?
Muchas gracias de antemano
