Autor Tema: Cambio de coordenadas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

17 Noviembre, 2019, 08:36 pm
Leído 487 veces

GMat

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 91
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Saludos. estaba intentando probar lo siguiente: Dada una variedad riemanniana \( (M,g) \), \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) un abierto coordenado de \( M \) y \( p_0,p_1\in U \) ver que

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}g_{i,j}\dot{x}^i\dot{x}^j} \)

No depende de la parametrización. Para ello hice el los cambios de coordenadas de

\( g_{i,j}=\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}g'_{kl}\frac{\partial y^l}{\partial x^j} \)

 donde \( y^1,\ldots,y^n \) son las nuevas coordenadas. \( g'_{kl} \) es la métrica en estas nuevas coordenadas y

\( \frac{dx^i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\dot{y}^k \)

\( \frac{dx^j}{dt}=\sum_{l=1}^{n}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\dot{y}^l \)

Juntando todo ello obtengo

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j,k,l=1}^{n}\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\right)\left(\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\right)g'_{kl}\dot{y}^k\dot{y}^l} \)

La principal pregunta es si lo que coloqué dentro de los parentesis se hace 1 y por que. Sino ocurre ¿Como podría seguir para probar que esa integral no depende de las coordenadas que escojamos?

La otra pregunta que quería hacerles es acerca de esa frase "no depende de la parametrización". En casi todos los ejemplos que he visto siempre aparece la matriz Jacobiana del cambio de cartas (de ser verdad lo que puse en el párrafo anterior este sería el primer caso que recuerdo que no ocurre esto). Realmente en esos casos lo que he visto es que las propiedades si cambian al cambiar la parametrización pero lo hacen de una manera muy especifica. Mi pregunta es ¿Siempre es posible escoger las nuevas coordenadas de manera tal que el determinante de la matriz Jacobiana del cambio de cartas se igual a 1? ¿A que se debe que yo siempre pueda "despreciar" este cambio al cambiar de coordenadas?

Muchas gracias de antemano

17 Noviembre, 2019, 08:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,555
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Saludos. estaba intentando probar lo siguiente: Dada una variedad riemanniana \( (M,g) \), \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) un abierto coordenado de \( M \) y \( p_0,p_1\in U \) ver que

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}g_{i,j}\dot{x}^i\dot{x}^j} \)

No depende de la parametrización. Para ello hice el los cambios de coordenadas de

\( g_{i,j}=\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}g'_{kl}\frac{\partial y^l}{\partial x^j} \)

 donde \( y^1,\ldots,y^n \) son las nuevas coordenadas. \( g'_{kl} \) es la métrica en estas nuevas coordenadas y

\( \frac{dx^i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\dot{y}^k \)

\( \frac{dx^j}{dt}=\sum_{l=1}^{n}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\dot{y}^l \)

Juntando todo ello obtengo

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j,k,l=1}^{n}\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\right)\left(\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\right)g'_{kl}\dot{y}^k\dot{y}^l} \)

La principal pregunta es si lo que coloqué dentro de los parentesis se hace 1 y por que. Sino ocurre ¿Como podría seguir para probar que esa integral no depende de las coordenadas que escojamos?

Son respectivamente \( \delta_{ki} \) y \( \delta_{jl} \) (la delta de Krönecker), por el teorema de la función inversa (la diferencial de la función inversa es la inversa de la diferencial de la función).

Citar
La otra pregunta que quería hacerles es acerca de esa frase "no depende de la parametrización". En casi todos los ejemplos que he visto siempre aparece la matriz Jacobiana del cambio de cartas (de ser verdad lo que puse en el párrafo anterior este sería el primer caso que recuerdo que no ocurre esto). Realmente en esos casos lo que he visto es que las propiedades si cambian al cambiar la parametrización pero lo hacen de una manera muy especifica. Mi pregunta es ¿Siempre es posible escoger las nuevas coordenadas de manera tal que el determinante de la matriz Jacobiana del cambio de cartas se igual a 1? ¿A que se debe que yo siempre pueda "despreciar" este cambio al cambiar de coordenadas?

Es que nadie dice que el determinante de cambio de cartas se haga uno. Eso sería si el determinante de las matrices de Gramm respecto de ambas coordenadas fuese el mismo; pero no tiene porque serlo. La idea es que el cambio de coordenadas de la matriz de Gramm se "compensa" con el cambio de coordendas del vector.

Saludos.

17 Noviembre, 2019, 09:16 pm
Respuesta #2

GMat

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 91
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias por la respuesta.

Con el cambio de coordenadas no aseguraba que fuese uno, eso sencillamente era saber si se podia tomar así siempre. Mi pregunta era para entender por que decimos que algo no depende de la parametrizacion cuando aparece la matriz Jacobiana. Es decir, ¿Cual es el argumento? Ya me diste la respuesta pero no la comprendí bien, ¿Podrías explicarla un poco más?

17 Noviembre, 2019, 09:29 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,555
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Con el cambio de coordenadas no aseguraba que fuese uno, eso sencillamente era saber si se podia tomar así siempre.

No estoy seguro de entender la pregunta. Si uno tiene dos parametrizaciones, uno siempre puede modificar una de ellas (pero entonces ya es otra) de manera que el cambio de Jacobiano del cambio de coordenadas tenga determinando uno. Por ejemplo simplemente multiplicando una de las parametrizaciones por una constante adecuada.

Citar
Mi pregunta era para entender por que decimos que algo no depende de la parametrizacion cuando aparece la matriz Jacobiana.


mmmmm... esa afirmación es muy genérica. ¿Quién dice eso y en qué contexto?.

Fíjate que en este caso (en el que exponías en el mensaje inicial) no es una cuestión de geométria diferencial sino más bien de álgebra lineal. En un espacio vectorial euclídeo al cambiar de base cambia la matriz de Gram y cambian las coordenadas de los vectores, pero sin embargo el producto escalar o el módulo de los vectores no depende de la base en la que se trabaja.

Saludos.