La primera es con la prueba de \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=v \). Do Carmo no lo prueba y yo intente hacer lo siguiente: Tome la curva \( \alpha:I\to TM \) (\( TM \) fibrado tangente a la variedad \( M \)) como \( \alpha(t)=(t+1)v \) con \( v\in T_pM \) y apliqué la aplicación exponencial
\( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=\frac{d}{dt}(exp_p\circ\alpha(t))|_{t=0}=\frac{d}{dt}(exp_p((t+1)v)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\gamma(t+1,p,v)1_{t=0} \). Según vi eso me da el rsultado \( v \) pero según entiendo la última expresión seria el transporte paralelo de \( v \) a lo largo de la geodésica \( \gamma(t) \) en \( t=1 \) ¿El hecho de ser geodésica y tener el transporte paralelo me garantiza que el resultado sea \( v \)? ¿Por que?
Te tengo que pedir disculpas porque te lié yo con esto en el otro hilo. Decir que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=v \) no tiene mucho sentido, porque \( v \) es un vector que vive en \( T_pM \) mientras que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es un vector que vive en \( T_{\gamma_v(1)}M \). Lo que sí que es verdad, esencialmente por el argumento que has puesto, es que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es el transportado paralelo de \( v \) a lo largo de \( \gamma_v \), y por tanto:
\( \langle \mathrm{d}exp_p)_v(v), \mathrm{d}exp_p)_v(w_T) \rangle = \langle v, w_T \rangle \),
donde \( w_T \) es un vector paralelo a \( v \), porque el transporte paralelo es una isometría.
Espero que ahora esté todo correcto y quede claro el argumento.
La siguiente es sobre diferenciación en la función exponencial de la siguiente manera: \( \frac{\partial}{\partial t}(exp_p(tv+tsw_N))|_{t=1,s=0}=\frac{\partial}{\partial t}(\gamma(1,p.tv+tsw_N))|_{t=1,s=0} \) donde \( t,s\in\mathbb{R} \) y \( w_N\in T_pM \) es un vector normal a \( v \), ¿Eso es lo mismo que \( (\gamma_t(1,p.v+sw_N))|_{t=1,s=0} \)? Es decir, al diferencial parcialmente en la función exponencial ¿puedo simplemente derivar el termino que involucra la variable con la que se deriva? ¿Por que?
No entiendo muy bien la duda. Ahí \( exp_p(tv+tsw_N) \), si dejas \( s \) fijo como parece que haces, es una curva sobre la superfície, de hecho la geodésica que en tu notación denotas por \( \gamma(t,p.v+sw_N) \), luego la derivada respecto a \( t \) te da el vector tangente, como en cualquier curva.
La última duda es algo que no terminé de comprender, al buscar el lema de Gauss en internet aparece lo siguiente "Gauss' lemma asserts that the image of a sphere of sufficiently small radius in TpM under the exponential map is perpendicular to all geodesics originating at p" no logro ver el por que dela afirmación, aunque s¿estoy seguro de que debe ser evidente de lo que se demuestra en el Do Carmo.
Imagina que tienes una esfera \( S \) centrada en el origen en \( T_pM \) (aquí debes entender esfera como el conjunto de vectores de \( T_pM \) que cumplen \( \langle v, v \rangle = r \), donde la métrica es la riemanniana). Entonces, un vector \( v \in S \) es ortogonal a cualquier vector que sea tangente a la esfera en el punto \( v \in S \). Trasladado a la variedad vía \( exp_p \) (en el rango donde es un difeomorfismo, por eso lo de esferas suficientemente pequeñas), y usando el lema de Gauss del do Carmo:
\( \langle d(exp_p)_v(v), d(exp_p)_v(w) \rangle = \langle v, w \rangle = 0 \)
si \( v \in S \) y \( w \) es tangente a \( S \).
Pero \( d(exp_p)_v(v) \) es por definición el vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \), mientras que \( d(exp_p)_v(w) \) es un vector tangente a \( exp_p(S) \). En resumen, todo vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \) es ortogonal a todo vector tangente a \( exp_p(S) \) en ese punto.
