Autor Tema: Dudas sobre el Lema de Gauss

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04 Noviembre, 2019, 04:26 am
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GMat

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Saludos. Estaba viendo la demostración del lema de Gauss en el libro "Riemannian Geometry" de Manfredo Do Carmo y me surgió algunas dudas al intentar llenar detalles de la prueba.

La primera es con la prueba de \( (\mathrm{d}\exp_p)_v(v)=v \). Do Carmo no lo prueba y yo intente hacer lo siguiente: Tome la curva \( \alpha:I\to TM \) (\( TM \) fibrado tangente a la variedad \( M \)) como \( \alpha(t)=(t+1)v \) con \( v\in T_pM \) y apliqué la aplicación exponencial

\( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=\frac{d}{dt}(exp_p\circ\alpha(t))|_{t=0}=\frac{d}{dt}(exp_p((t+1)v)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\gamma(t+1,p,v)1_{t=0} \). Según vi eso me da el rsultado \( v \) pero según entiendo la última expresión seria el transporte paralelo de \( v \) a lo largo de la geodésica \( \gamma(t) \) en \( t=1 \) ¿El hecho de ser geodésica y tener el transporte paralelo me garantiza que el resultado sea \( v \)? ¿Por que?

La siguiente es sobre diferenciación en la función exponencial de la siguiente manera: \( \frac{\partial}{\partial t}(exp_p(tv+tsw_N))|_{t=1,s=0}=\frac{\partial}{\partial t}(\gamma(1,p.tv+tsw_N))|_{t=1,s=0} \) donde \( t,s\in\mathbb{R} \) y \( w_N\in T_pM \) es un vector normal a \( v \), ¿Eso es lo mismo que \( (\gamma_t(1,p.v+sw_N))|_{t=1,s=0} \)? Es decir, al diferencial parcialmente en la función exponencial ¿puedo simplemente derivar el termino que involucra la variable con la que se deriva? ¿Por que?

La última duda es algo que no terminé de comprender, al buscar el lema de Gauss en internet aparece lo siguiente "Gauss' lemma asserts that the image of a sphere of sufficiently small radius in TpM under the exponential map is perpendicular to all geodesics originating at p" no logro ver el por que dela afirmación, aunque s¿estoy seguro de que debe ser evidente de lo que se demuestra en el Do Carmo.

Gracias de antemano por la ayuda

07 Noviembre, 2019, 04:59 pm
Respuesta #1

geómetracat

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La primera es con la prueba de \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=v \). Do Carmo no lo prueba y yo intente hacer lo siguiente: Tome la curva \( \alpha:I\to TM \) (\( TM \) fibrado tangente a la variedad \( M \)) como \( \alpha(t)=(t+1)v \) con \( v\in T_pM \) y apliqué la aplicación exponencial

\( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=\frac{d}{dt}(exp_p\circ\alpha(t))|_{t=0}=\frac{d}{dt}(exp_p((t+1)v)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\gamma(t+1,p,v)1_{t=0} \). Según vi eso me da el rsultado \( v \) pero según entiendo la última expresión seria el transporte paralelo de \( v \) a lo largo de la geodésica \( \gamma(t) \) en \( t=1 \) ¿El hecho de ser geodésica y tener el transporte paralelo me garantiza que el resultado sea \( v \)? ¿Por que?

Te tengo que pedir disculpas porque te lié yo con esto en el otro hilo. Decir que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=v \) no tiene mucho sentido, porque \( v \) es un vector que vive en \( T_pM \) mientras que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es un vector que vive en \( T_{\gamma_v(1)}M \). Lo que sí que es verdad, esencialmente por el argumento que has puesto, es que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es el transportado paralelo de \( v \) a lo largo de \( \gamma_v \), y por tanto:
\( \langle \mathrm{d}exp_p)_v(v), \mathrm{d}exp_p)_v(w_T) \rangle = \langle v, w_T \rangle \),
donde \( w_T \) es un vector paralelo a \( v \), porque el transporte paralelo es una isometría.
Espero que ahora esté todo correcto y quede claro el argumento.

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La siguiente es sobre diferenciación en la función exponencial de la siguiente manera: \( \frac{\partial}{\partial t}(exp_p(tv+tsw_N))|_{t=1,s=0}=\frac{\partial}{\partial t}(\gamma(1,p.tv+tsw_N))|_{t=1,s=0} \) donde \( t,s\in\mathbb{R} \) y \( w_N\in T_pM \) es un vector normal a \( v \), ¿Eso es lo mismo que \( (\gamma_t(1,p.v+sw_N))|_{t=1,s=0} \)? Es decir, al diferencial parcialmente en la función exponencial ¿puedo simplemente derivar el termino que involucra la variable con la que se deriva? ¿Por que?

No entiendo muy bien la duda. Ahí \( exp_p(tv+tsw_N) \), si dejas \( s \) fijo como parece que haces, es una curva sobre la superfície, de hecho la geodésica que en tu notación denotas por \( \gamma(t,p.v+sw_N) \), luego la derivada respecto a \( t \) te da el vector tangente, como en cualquier curva.

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La última duda es algo que no terminé de comprender, al buscar el lema de Gauss en internet aparece lo siguiente "Gauss' lemma asserts that the image of a sphere of sufficiently small radius in TpM under the exponential map is perpendicular to all geodesics originating at p" no logro ver el por que dela afirmación, aunque s¿estoy seguro de que debe ser evidente de lo que se demuestra en el Do Carmo.

Imagina que tienes una esfera \( S \) centrada en el origen en \( T_pM \) (aquí debes entender esfera como el conjunto de vectores de \( T_pM \) que cumplen \( \langle v, v \rangle = r \), donde la métrica es la riemanniana). Entonces, un vector \( v \in S \) es ortogonal a cualquier vector que sea tangente a la esfera en el punto \( v \in S \). Trasladado a la variedad vía \( exp_p \) (en el rango donde es un difeomorfismo, por eso lo de esferas suficientemente pequeñas), y usando el lema de Gauss del do Carmo:
\( \langle d(exp_p)_v(v), d(exp_p)_v(w) \rangle = \langle v, w \rangle = 0 \)
si \( v \in S \) y \( w \) es tangente a \( S \).
Pero \( d(exp_p)_v(v) \) es por definición el vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \), mientras que \( d(exp_p)_v(w) \) es un vector tangente a \( exp_p(S) \). En resumen, todo vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \) es ortogonal a todo vector tangente a \( exp_p(S) \) en ese punto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Noviembre, 2019, 05:01 pm
Respuesta #2

GMat

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Te tengo que pedir disculpas porque te lié yo con esto en el otro hilo. Decir que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=v \) no tiene mucho sentido, porque \( v \) es un vector que vive en \( T_pM \) mientras que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es un vector que vive en \( T_{\gamma_v(1)}M \). Lo que sí que es verdad, esencialmente por el argumento que has puesto, es que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es el transportado paralelo de \( v \) a lo largo de \( \gamma_v \), y por tanto:
\( \langle \mathrm{d}exp_p)_v(v), \mathrm{d}exp_p)_v(w_T) \rangle = \langle v, w_T \rangle \),
donde \( w_T \) es un vector paralelo a \( v \), porque el transporte paralelo es una isometría.
Espero que ahora esté todo correcto y quede claro el argumento.

No tienes de que preocuparte, yo mas bien estoy muy agradecido por la ayuda que me has brindado en mis últimas preguntas. Todo perfecto, ya entendí el argumento.

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No entiendo muy bien la duda. Ahí \( exp_p(tv+tsw_N) \), si dejas \( s \) fijo como parece que haces, es una curva sobre la superfície, de hecho la geodésica que en tu notación denotas por \( \gamma(t,p.v+sw_N) \), luego la derivada respecto a \( t \) te da el vector tangente, como en cualquier curva.

En la expresión \( \gamma(t,p.v+sw_N) \) el vector \( v+sw_N \) es la suma de del vector \( v \) y un vector normal a él. Si diferenciara con respecto a \( s \) ¿Me quedaría solo \( w_N \)? Este fue realmente el punto que me llevo a preguntar lo de si se podría tener como una derivación interna, al pensarlo mejor vi que eso no tiene mucho sentido, pero aun me queda la suda en cuanto se refiere a la derivada con respecto a \( s \). ¿Se aplica el mismo argumento que con \( t \)? Es decir, al dejar fijo \( t \) obtengo una geodesica pero esta vez el vector tangente sería \( w_N \) ¿Por que?

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Imagina que tienes una esfera \( S \) centrada en el origen en \( T_pM \) (aquí debes entender esfera como el conjunto de vectores de \( T_pM \) que cumplen \( \langle v, v \rangle = r \), donde la métrica es la riemanniana). Entonces, un vector \( v \in S \) es ortogonal a cualquier vector que sea tangente a la esfera en el punto \( v \in S \). Trasladado a la variedad vía \( exp_p \) (en el rango donde es un difeomorfismo, por eso lo de esferas suficientemente pequeñas), y usando el lema de Gauss del do Carmo:
\( \langle d(exp_p)_v(v), d(exp_p)_v(w) \rangle = \langle v, w \rangle = 0 \)
si \( v \in S \) y \( w \) es tangente a \( S \).
Pero \( d(exp_p)_v(v) \) es por definición el vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \), mientras que \( d(exp_p)_v(w) \) es un vector tangente a \( exp_p(S) \). En resumen, todo vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \) es ortogonal a todo vector tangente a \( exp_p(S) \) en ese punto.

Me ha quedado claro. Muchas gracias

12 Noviembre, 2019, 02:59 pm
Respuesta #3

geómetracat

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En la expresión \( \gamma(t,p.v+sw_N) \) el vector \( v+sw_N \) es la suma de del vector \( v \) y un vector normal a él. Si diferenciara con respecto a \( s \) ¿Me quedaría solo \( w_N \)? Este fue realmente el punto que me llevo a preguntar lo de si se podría tener como una derivación interna, al pensarlo mejor vi que eso no tiene mucho sentido, pero aun me queda la suda en cuanto se refiere a la derivada con respecto a \( s \). ¿Se aplica el mismo argumento que con \( t \)? Es decir, al dejar fijo \( t \) obtengo una geodesica pero esta vez el vector tangente sería \( w_N \) ¿Por que?

Si en \( exp_p(tv+tsw_N) \) dejas fijo \( t=t_0 \) y varías \( s \) obtienes una curva \( \gamma(s) = exp_p(t_0v+t_0sw_N) \). Ojo porque esta curva en general no es una geodésica, a diferencia de lo que pasaba antes. Pero es una curva sobre tu variedad y por tanto puedes derivarla respecto a su parámetro y obtener el vector tangente a la curva en un punto dado. Conceptualmente no debería haber ninguna dificultad.

Para calcular el vector tangente a esa curva, puedes aplicar considerar \( \gamma \) como la composición de \( exp_p \) con la curva en \( T_pM \) dada por \( c(s) = t_0v+t_0sw_N \). Como \( T_pM \) es un espacio vectorial (puedes pensar que es un \( \Bbb R^n \)), tenemos que \( \frac{\partial c}{\partial s} = w_N \). Para calcular ahora el vector tangente a la curva \( \gamma = exp_p \circ c \) en \( s=0 \) puedes usar la regla de la cadena y obtener:
\( \frac{\partial \gamma}{\partial s} = d(exp_p)_{c(0)} (c'(0)) = d(exp_p)_{t_0v}(w_N) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Noviembre, 2019, 05:45 am
Respuesta #4

GMat

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Muchas gracias por la respuesta. Ya me quedó claro el argumento. Solo tengo una pregunta, creo que esta es la última sobre este tema. En el Do Carmo se hace la acotación (al igual que tu) de que cuando fijamos \( s \) la curva \( exp_p(tv+tsw_N) \) es una geodésica, ¿es esta acotación realmente importante en la demostración? veo (a menos que se me esté escapando algo) que el solo tomarlo como curvas se puede obtener lo que se desea.

Edito: Falla mía al leer solo la parte que me estaba preguntando e ignorar todo el resto de la demostración ya vi por que es un paso crucial el que la curva \( exp_p(tv+tsw_N) \) con \( s \) fijo sea una geodésica.