Hola
Hola a todos, quisiera que por favor me dieran ideas sobre el siguiente ejercicio. Gracias.
Sea \( H \) un espacio de Hilbert y \( M \) un subespacio cerrado. Sea \( g:M\longrightarrow K \) un funcional lineal y continuo. Sea \( { h }\in { H }^{ \ast } \) una extensión continua de \( g \) según el teorema de Hahn Banach.
(a) Muestre que \( g\left( x \right) =\left< x,y \right> \) para todo \( x\in H \) y algún \( z\in H \).
\( g \) está definido sólo en \( M \) y no dices quien es y. Así que supongo que es una errata y en realidad querías poner:
Muestre que \( h\left( x \right) =\left< x,z \right> \) para todo \( x\in H \) y algún \( z\in H \).
Esto es tal cual el
Teorema de representación de Riesz-Frèchet.
(b) Muestre que \( g\left( x \right) =f\left( x \right) =\left< x,{ P }_{ M }\left( z \right) \right> \) para todo \( x\in M \).
Se tiene que \( z=P_M(z)+z' \) donde \( z'\bot M \). Por tanto (usando (a)):
\( g(x)=h(x)=<x,z>=<x,P_m(z)>+<x,z'> \)
Pero \( <x,z'>=0 \) porque \( x\in M \) y \( z'\bot M \).
(c) Muestre que \( { { P }^{ } }_{ { M }^{ \bot } }\left( z \right) =0 \) y por tanto \( g\left( x \right) =f\left( { { P }^{ } }_{ { M } }\left( x \right) \right) \).
Dado que el operador proyección es autoadjunto:
\( g(x)=<x,P_M(z)>=<P_M(x),z>=h(P_M(x)) \)
Saludos.
