Autor Tema: Espacio de Hilbert y subespacio cerrado

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20 Diciembre, 2018, 11:56 pm
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llanten

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Hola a todos, quisiera que por favor me dieran ideas sobre el siguiente ejercicio. Gracias.

Sea \( H \)  un espacio de Hilbert y \( M \)  un subespacio cerrado. Sea \( g:M\longrightarrow K \) un funcional lineal y continuo. Sea \( { h }\in { H }^{ \ast  } \) una extensión continua de \( g \) según el teorema de Hahn Banach.

(a) Muestre que  \( h\left( x \right) =\left< x,z \right>  \) para todo \( x\in H \) y algún \( z\in H \).
(b) Muestre que \( h\left( x \right) =g\left( x \right) =\left< x,{ P }_{ M }\left( z \right)  \right>  \) para todo \( x\in M \).
(c) Muestre que \( { { P }^{  } }_{ { M }^{ \bot  } }\left( z \right) =0 \) y por tanto \( h\left( x \right) =g\left( { { P }^{  } }_{ { M } }\left( x \right)  \right)  \).

21 Diciembre, 2018, 09:42 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, quisiera que por favor me dieran ideas sobre el siguiente ejercicio. Gracias.

Sea \( H \)  un espacio de Hilbert y \( M \)  un subespacio cerrado. Sea \( g:M\longrightarrow K \) un funcional lineal y continuo. Sea \( { h }\in { H }^{ \ast  } \) una extensión continua de \( g \) según el teorema de Hahn Banach.

(a) Muestre que  \( g\left( x \right) =\left< x,y \right>  \) para todo \( x\in H \) y algún \( z\in H \).

\( g \) está definido sólo en \( M \) y no dices quien es y. Así que supongo que es una errata y en realidad querías poner:

Muestre que  \( h\left( x \right) =\left< x,z \right>  \) para todo \( x\in H \) y algún \( z\in H \).

Esto es tal cual el Teorema de representación de Riesz-Frèchet.

Citar
(b) Muestre que \( g\left( x \right) =f\left( x \right) =\left< x,{ P }_{ M }\left( z \right)  \right>  \) para todo \( x\in M \).

Se tiene que \( z=P_M(z)+z' \) donde \( z'\bot M \). Por tanto (usando (a)):

\( g(x)=h(x)=<x,z>=<x,P_m(z)>+<x,z'> \)

Pero \( <x,z'>=0 \) porque \( x\in M \) y \( z'\bot M \).

Citar
(c) Muestre que \( { { P }^{  } }_{ { M }^{ \bot  } }\left( z \right) =0 \) y por tanto \( g\left( x \right) =f\left( { { P }^{  } }_{ { M } }\left( x \right)  \right)  \).

Dado que el operador proyección es autoadjunto:

\( g(x)=<x,P_M(z)>=<P_M(x),z>=h(P_M(x)) \)

Saludos.

21 Diciembre, 2018, 01:52 pm
Respuesta #2

llanten

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Gracias amigo Luis Fuentes por la explicación. Tienes razón tengo algunos errores en la redacción, ya los corrijo.